Si espera que alguien resuelva las ecuaciones métricas de Kerr, probablemente necesite contratar a un matemático profesional; pero si desea una aproximación, podemos hacer que eso suceda. Comencemos con algunos resultados simples y eventualmente avancemos hacia resultados avanzados.

Objetivo

Nuestro objetivo es calcular el tensor de tensión unidimensional máximo que actúa en la dirección a lo largo del eje tangencial a la supuesta superficie esférica del agujero negro. Como todas nuestras fuerzas provienen de la gravedad del agujero negro, todas actuarán en esta dirección, así que no voy a usar ningún vector.

suposiciones

• $\text{M}_{b}$es la masa del agujero negro y es igual$1.99\times10^{31} \text{ kg}$(10 veces la masa del sol).
• El objeto en cuestión es una varilla cilíndrica de 1 km de largo y 100 m de radio, con la varilla alineada en la dirección de una línea radial desde el centro del agujero negro hacia el exterior. El objeto tiene densidad constante.$\rho = 1$, simplemente no es tan importante en este momento.
• El objeto está 'suspendido' con su punto medio centrado en 3/4 del radio de Schwarzschild del agujero negro.

Radio de Schwarzschild

Dada por

$$r_s = \frac{2GM}{c^2}$$ donde G es la constante de gravitación universal ( $6.67\times10^{-11}\frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$), M es la masa del agujero negro y c es la velocidad de la luz ( $3.00\times10^{8}\frac{\text{m}}{\text{s}}$). Por lo tanto $$r_s = \frac{2\cdot 6.67\times10^{-11} \cdot 1.99\times10^{31}}{(3.00\times10^{8})^2} = 29500 \text{m}.$$ Por lo tanto, redondeando un poco, el punto cercano al agujero de nuestra caña está a 22 km, el punto lejano al agujero está a 23 km.

Fuerza de gravedad en función de la distancia desde el punto cercano al agujero

Definamos un sistema de coordenadas en una dimensión con$l = 0$como el punto cercano al agujero, y$l = 1000$(en metros) como el punto del agujero lejano de nuestra varilla. Calcularemos la fuerza de la gravedad sobre cada rebanada infinitesimalmente pequeña de la barra en función de su$l$coordinar.

La fuerza de gravedad sobre una masa es

$$F = G\frac{m_1m_2}{r^2}.$$ La masa de una rebanada de la barra (equivalente a la derivada de la distancia de la masa de la barra) es igual a la masa de un círculo $\frac{dm}{dl} = \rho \pi (100)^2$. Por lo tanto, la derivada de la distancia de la fuerza de gravedad en una rebanada es $$\frac{dF_{slice}}{dl} = 6.67\times10^{-11} \frac{1.99\times10^{31}\cdot \rho \pi (100)^2}{(23000 + l)^2} = \frac{4.17\times10^{25}}{(23000 + l)^2}$$

Integrar la derivada de la distancia de la fuerza de gravedad

Para encontrar la fuerza neta entre los puntos$l = a$y$l = b$, integramos la derivada de la distancia de la fuerza de gravedad con respecto a la distancia desde el punto cercano al agujero.

$$\int_a^b \frac{4.17\times10^{25}}{(23000 + l)^2} dl = \left.\frac{-4.17\times10^{25}}{23000 + l}\right|^b_a = -4.17\times10^{25}\left(\frac{1}{23000+b}-\frac{1}{23000+a}\right)$$

Resolviendo esto para la fuerza neta en toda la barra, obtenemos

$$-4.17\times10^{25}\left(\frac{1}{23000+1000}-\frac{1}{23000+0}\right) = 7.55\times10^{19} \text{N}.$$

Ahora esa fuerza tiene que ser contrarrestada por una fuerza de 'elevación' que mantenga la varilla fuera del agujero negro. Para simplificar, supongamos que la fuerza contraria actúa por igual en cada rebanada de la barra, por lo que cada una de las rebanadas de la barra de a a b se extrae del agujero negro con fuerza

$$F_{lift} = -7.55\times10^{19}\cdot\frac{b-a}{1000}.$$ Tenga en cuenta que la fuerza es negativa porque actúa en la dirección de salida del agujero.

Resuelva el estrés en cualquier punto de la barra.

En esta simplificación, la fuerza de gravedad más alta estará en el punto más bajo más cercano a$l = 0$. Por lo tanto, la fuerza que causa el estrés a cualquier distancia$x$en esta barra va a ser la fuerza neta de gravedad y sustentación para todos los cortes debajo de ella menos la fuerza neta de gravedad y sustentación para todos los puntos por encima de ella.

$$\begin{align}F_{net} =&\left.\frac{-4.17\times10^{25}}{23000 + l}\right|^x_0 - 7.55\times10^{19}\cdot\frac{x-0}{1000}- \left.\frac{-4.17\times10^{25}}{23000 + l}\right|^{1000}_x + 7.55\times10^{19}\cdot\frac{1000-x}{1000} \\ =& 3.55\times10^{21}-\frac{8.34\times10^{25}}{23000+x} + 7.55\times10^{16}\cdot (1000-2x) \end{align}$$

El gráfico de fuerza neta se ve así:

La fuerza máxima es$1.61\times10^{18} \text{ N}$en$l=500$.

Estrés definido como$\sigma = \frac{\text{F}}{\text{A}}$. El área de la sección transversal es$\pi(100)^2 = 31415 \text{m}^2$, por lo que la tensión máxima es

$$\sigma = \frac{1.61\times10^{18} \text{ N}}{31415 \text{m}^2} = 5.12\times10^{13} \text{Pa}.$$

Conclusión

El cálculo funciona y produce resultados lógicos. El estrés debe ser cero en los extremos de la barra (no hay nada de lo que tirar) y debe ser máximo en el centro. El estrés producido es muy alto, como cabría esperar a 23 km del centro de un agujero negro.

El límite elástico requerido es de aproximadamente 51 TPa. La resistencia del material requerida probablemente no se pueda lograr con ningún material teórico o conocido. No encuentro nada con un límite elástico superior a 1 TPa y mucho menos a 51.