Cómo calcular la magnitud aparente/brillo de los planetas dentro del mismo sistema solar

Vi esta respuesta en: https://www.quora.com/How-do-you-calculate-the-apparent-magnitude-brightness-of-planets-from-within-the-same-solar-system

Así que he copiado/pegado la respuesta a continuación. Esta no es mi respuesta, la estoy copiando/pegando porque parece una respuesta apropiada. Todo el crédito va a Milan Minic.

Los cálculos de las magnitudes aparentes m comienzan con los cálculos de las magnitudes absolutas H de los objetos celestes y de sus integrales de fase q.

La magnitud absoluta H nos da la magnitud aparente del objeto cuando se observa desde el Sol y se coloca a una distancia estándar del Sol, es decir, 1 unidad astronómica para nuestro sistema solar. Para un objeto esférico de diámetro D (en kilómetros) y albedo p, H se calcula como

H =$5 \log_{10} {{1329} \over {D \sqrt{p}}}$

La integral de fase q(α) nos dice cómo varía el brillo de un objeto cuando se observa desde varios ángulos, α es el ángulo entre el Sol y el observador, visto desde el objeto. Así, 0° significa que el objeto está en oposición con el Sol (es decir, el observador está exactamente entre el Sol y el objeto, como en el caso de la Luna llena), y 180° significa que el objeto está en conjunción con el Sol. Sol (es decir, el objeto está exactamente entre el Sol y el observador, como en el caso de la Luna nueva). Si el objeto es una esfera reflectante difusa, la integral de fase q puede expresarse analíticamente, pero para los objetos celestes reales los astrónomos han desarrollado fórmulas empíricas para cada uno de ellos, para dar cuenta de las peculiaridades de la reflexión de la luz de ellos. Por ejemplo, la Luna muestra un aumento de brillo irregular para α = 0° (el llamado aumento de oposición) debido a las propiedades de reflexión frontal del regolito lunar. O, en el caso de Venus,

podemos ver diferencias significativas con respecto a la esfera reflectora difusa (similar a la curva de Mercurio, línea azul) debido a la luz que pasa a través de su atmósfera y al peculiar aumento de la transmisión de luz a α = 168° debido a las gotitas de ácido sulfúrico.

Ahora, cuando conocemos H, α y q(α), podemos calcular la magnitud aparente m como

m=$H + 5 \log_{10} {{d_{BS} d_{BO}} \over {d^2_{OS}}} − 2.5\log_{10} q(α)$

dónde$d_{BS}$,$d_{BO}$,$d_{OS}$y α están conectados por el teorema del coseno:

$d^2_{OS} = d^2_{BS} + d^2_{BO} − 2d_{BS} d_{BO} \cos(α)$