En primer lugar, me gustaría conectar aquí la respuesta de JoeKissling , que usé como base para la mía.

Presión de radiación

La radiación de Hawking emitida por un agujero negro actúa como radiación de cuerpo negro, emitida igualmente desde el área de superficie del horizonte de eventos. Basado en la 'estimación analítica cruda' de Wikipedia, la temperatura equivalente$T$es dado por

$$\frac{\hbar c^3}{8\pi GMk_{B}} \approx \frac{1.227\times10^{23} \text{ kg}}{M} \text{ K}.$$

Multiplicando este factor a la cuarta potencia por la emisividad$\epsilon = 1$y la constante de proporcionalidad$\sigma = 5.670373\times10^{-8} \text{W m}^{-2}\text{K}^{-4}$nos da la potencia de salida por unidad de área ($j^*$), o emitancia radiante, de acuerdo con la ley de Stefan-Boltzman .

$$\begin{align}5.670373\times10^{-8} \text{W m}^{-2}\text{K}^{-4} \cdot \left(\frac{1.227\times10^{23} \text{ kg}}{M} \text{ K}\right)^4 = 1.285\times10^{85} \text{ W m}^{-2} \cdot \frac{\text{kg}^4}{M^4}.\end{align}$$

Básicamente, tomamos la masa del agujero negro, la elevamos a la cuarta potencia y luego dividimos esa enorme constante por el resultado. Esto nos dará la potencia de salida en vatios por metro cuadrado.

La presión de radiación es función del flujo de radiación EM ($E_f$) y la velocidad de la luz. También es una función del ángulo de incidencia del flujo. Supondremos un horizonte de eventos esférico, donde la presión del gigante gaseoso actúa en la dirección negativa de la presión de radiación, haciendo así que el ángulo de incidencia$\alpha = 0$. La presión de radiación, reemplazando nuestra ecuación anterior, es

$$\begin{align}P &= \frac{E_f}{c}\cos\alpha \\ &= \frac{1.285\times10^{85} \text{ W m}^{-2} \cdot \frac{\text{kg}^4}{M^4}}{2.998\times10^{8}\text{ m/s}}\cos0 \\&= 4.287\times10^{76} \text{ Pa} \cdot \frac{\text{kg}^4}{M^4}\end{align}$$

Presión en el centro de un gigante gaseoso

Dado que las condiciones de temperatura y presión en el núcleo de la Tierra no se conocen bien, lo mismo se aplica un millón de veces a otros planetas. Entonces, solo podemos tomar algunas suposiciones de las mejores conjeturas sobre el núcleo de Júpiter. Militzer et al., 2008 estiman 100-1000 GPa para el núcleo de Júpiter, mientras que Wilson y Militzer, 2012 usan 40 Mbar = 400 GPa. Por cierto, este tipo, Burkhard Militzer , tiene un crédito de escritura en aproximadamente la mitad de los artículos que puedo encontrar sobre Júpiter, así que tomemos su palabra y usemos 400 GPa.

Para resolver nuestro agujero negro de tamaño mínimo, establezca 400 GPa igual a nuestra ecuación de presión de radiación anterior.

$$\begin{align}4\times10^{11} \text{ Pa} &= 4.287\times10^{76} \text{ Pa} \cdot \frac{\text{kg}^4}{M^4} \\ \frac{M^4}{\text{kg}^4} &= 1.072\times10^{65} \\ M &= 1.809\times10^{16} \text{ kg} \end{align}$$

Así que ahí lo tienes. Su agujero negro debe tener aproximadamente la masa de un asteroide de 10 km de radio.

Hice esto de manera un poco diferente a kingledion , y obtuve una respuesta diferente (fuera de$\sim6$¡órdenes de magnitud!). La diferencia es que asumí que habría acreción sin importar cuál sea la masa del agujero negro; esto es incorrecto porque probablemente se evitaría la acumulación debido a la presión de la radiación de Hawking. Mantendré esta respuesta aquí para la posteridad, y también para mostrar que incluso si ignora la suposición de presión clave de kingledion, todavía hay un límite aún más bajo, y por lo tanto su solución aún funciona. Un agujero negro de$\sim10^{16}\text{ kg}$sin duda sería capaz de calentar el gigante gaseoso.

La potencia emitida por un agujero negro a partir de la radiación de Hawking es

$$P=\frac{\hbar c^6}{15360\pi G^2M^2}=-c^2\dot{M}_H$$ dónde $\dot{M}_H$es el cambio de masa del agujero negro debido a la radiación de Hawking. Supongamos que el agujero negro también acumula masa; la ecuación para la acumulación de Bondi debería darnos una buena estimación: $$\dot{M}_B\simeq \frac{\pi\rho G^2M^2}{c_s^3}$$ dónde $\rho$es la densidad y $c_s$es la velocidad del sonido . La densidad central de Júpiter es aproximadamente $5\text{ g cm}^{-3}$, o $5000\text{ kg m}^{-3}$. Podemos encontrar $c_s$como $$c_s=\sqrt{\frac{K}{\rho}}$$ dónde $K$es el módulo volumétrico - sobre$125\text{ GPa}$. esto nos da $c_s\simeq5000\text{ m/s}$. Luego establecemos $$\dot{M}_H+\dot{M}_B=0$$ y resolver $$\frac{\hbar c^4}{15360\pi G^2M^2}=\frac{\pi\rho G^2M^2}{c_s^3}\to M=\left[\frac{\hbar c^4c_s^3}{15360\pi^2\rho G^4}\right]^{1/4}$$ Conectando cosas, tenemos $$M=\left[\frac{\hbar c^4(5000\text{ m/s})^3}{15360\pi^2(5000\text{ kg m}^{-3})G^4}\right]^{1/4}=5.158\times10^{10}\text{ kg}$$ Esto está, como dije, fuera del resultado de kingledion por un factor de un millón.

Solo hay dos cosas que realmente podrían variar: el módulo volumétrico y la densidad. Si sacamos los otros factores, vemos que

$$M=7.295\times10^8\text{ kg}^{5/4}\text{ s}^{3/4}\text{ m}^{-3/2}\left(\frac{K^{3/2}}{\rho^{5/2}}\right)^{1/4}$$ incluso criando $K$en un orden de magnitud y bajando $\rho$por un orden de magnitud solo multiplica nuestro resultado por $10$.

¡Esto demuestra el poder de la presión de radiación! Eleva el límite inferior en seis órdenes de magnitud, lo cual es bastante increíble. Tenga cuidado con las suposiciones físicas que hace.