¿Qué tan grande puede ser una luna donde puedes saltar físicamente fuera de su órbita, a su planeta?

No. No puedes saltar desde una luna en órbita estable al planeta. Esto se debe a que la velocidad orbital del satélite es suficiente para mantener el satélite en órbita, el saltador comienza con la misma velocidad orbital, y dado que las velocidades orbitales generalmente saltan, no habrá diferencia. Si la velocidad orbital fuera tan cercana a la inestabilidad, la órbita no sería lo suficientemente estable para que existiera la luna. Saltar simplemente cambiará tu órbita en una cantidad demasiado pequeña para permitirte escapar de la gravedad de cualquier luna lo suficientemente grande como para realmente "saltar".

Como se mencionó en un par de otras respuestas, el problema aquí no es solo la velocidad de escape de la luna, sino también la velocidad orbital del planeta.

Velocidad de escape
Primero, debes escapar de la gravedad de la luna. Wikipedia dice que la velocidad de carrera humana más rápida es de 12,4 m/s . Supongamos que también es un número bastante bueno para la velocidad de salto. Entonces necesitamos una luna cuya velocidad de escape sea menor que eso. Tengo un artículo aquí que dice que la velocidad de escape está dada por$v_{escape}=\sqrt{2Gm\over r}$. Tenga en cuenta que depende tanto de la masa como del radio, por lo que no existe un enfoque único para todos. Podríamos tener una luna masiva pero grande, o una luna más ligera pero más pequeña, y obtener la misma velocidad de escape.

Así que digamos que el límite superior de la densidad es la densidad de la Tierra,$\rho_E=5495 {kg \over m^3}$, y el límite inferior es alrededor de la densidad de un cometa,$\rho_C$$={0.3 g\over cm^3}$$=300 {kg\over m^3}$. La densidad de la luna está en el medio en$\rho_M=3343{kg\over m^3}$Podemos reorganizar la densidad para resolver la masa.$\rho={m\over V}$$\leftrightarrow m=V\rho$. El volumen de una esfera es$V={4\over 3}\pi r^3$, asi que$m={4\over 3}\pi r^3\rho$.

Ok, entonces podemos conectar la densidad y nuestra sustitución de masa en la ecuación de velocidad de escape:$v_{escape}=\sqrt{2G({4\over 3}\pi r^3\rho)\over r}$$=2r\sqrt{{2\pi\over 3}G\rho}$. Desde aquí, podemos reorganizar para resolver el radio.$r={v_{escape}\over 2\sqrt{{2\over 3}G\pi\rho}}$.

$r(\rho_C)$$={12.4 {m\over s}\over 2\sqrt{{2\pi\over 3}6.673\cdot 10^{-11}{N\cdot m^2\over kg^2}300{kg\over m^3}}}$$={12.4\over 2\sqrt{{2\pi\over3}6.673\cdot 10^{-11}\cdot 300}}{{m\over s}\over \sqrt{{kg\cdot m\over s^2}{m^2\over kg^2}{kg\over m^3}}}$$=30279m$$=30.3km$

$r(\rho_M)$$=9070m$$=9.1km$

$r(\rho_E)$$=7737m$$=7.7km$

$r(\rho)$$={524447\over\sqrt{\rho}}$

Por lo tanto, el radio de nuestra luna debe ser inferior a 30,3 km si es un objeto similar a un cometa, inferior a 9,1 km si es similar a la luna y inferior a 7,7 km si es similar a la Tierra. Puede usar la última ecuación para una densidad arbitraria.

Velocidad de salida de órbita
Pero ahora solo estamos pasando el rato en el espacio. Tenemos que caer sobre el planeta. Entonces necesitamos que nuestro salto desde la luna nos deje con suficiente velocidad para cancelar nuestra velocidad orbital. La ecuación de la velocidad orbital es la ecuación de la velocidad de escape. Digamos que estamos orbitando el planeta padre a la distancia Tierra-Luna, 365 542 km . Podemos resolver para la masa requerida del planeta.

$v_{orbital}=\sqrt{2Gm\over r}$$\leftrightarrow m=v_{orbital}^2{r\over2G}$$=12.4^2{m^2\over s^2}{365,542,000 m \over 2\cdot 6.673\cdot 10^{-11}{N\cdot m^2\over kg^2}}$$=4.225\cdot 10^{20}{m^2\over s^2}m{s^2\over kg\cdot m}{kg^2\over m^2}$$=4.225\cdot 10^{20}kg$.

La Tierra tiene una masa de aproximadamente$5.972\cdot 10^{24}kg$, que es aproximadamente 14000 veces la masa que necesita nuestro planeta. Entonces, con un planeta pequeño y una luna realmente pequeña, podrías saltar de la luna al planeta.

Si quieres jugar con diferentes distancias y masas planetarias, puedes usar las siguientes ecuaciones, recordando que la masa está en kilogramos y la distancia en metros.

$m_{planet}$$=1.1558\cdot 10^{12}\cdot r_{orbit}$
$\leftrightarrow$$r_{orbit}$$=8.6518\cdot 10^{-13}\cdot m_{planet}$.

Posicionamiento
Una nota importante aquí es que no puedes saltar hacia el planeta. Eso solo te da una órbita excéntrica. Necesitas saltar cuando el planeta está en el horizonte y debe estar al revés en comparación con la órbita de la luna.

Según Wikipedia, el límite de Roche de la Tierra y la Luna es de unos 10.000 km. A 10 000 km de la Tierra, la gravedad hacia la Tierra es de 1,48 m/s^2 . Según Google, la gravedad de la Luna es de 1,6 m/s^2 . Entonces, este escenario, al menos al principio, parece algo plausible; parece que podría existir un caso en el que alguien pudiera saltar de una luna con la ayuda de las fuerzas de las mareas.

Es decir, hasta que considere cuál es realmente el límite de Roche . Esencialmente, es exactamente lo que estás buscando: el punto en el que las fuerzas de las mareas cancelan la atracción gravitacional del cuerpo en órbita. Si tienes una luna colgando apenas en el borde de este límite, cosas como rocas y polvo simplemente se alejarán flotando, quizás formando un anillo planetario. Si la luna se acerca más, puede volverse inestable y desgarrarse. Por un lado, así es exactamente como tus marines espaciales podrán escapar solo por la fuerza de sus piernas, pero por otro lado, hace que las posibilidades de que tu luna sobreviva por unos pocos millones de años más sean muy bajas.

Por lo tanto, la pregunta realmente no debería ser qué tan grande podría llegar a ser, sino qué tan seguro quieres jugarlo. Esencialmente, quieres fuerzas de marea + fuerza de salto = gravedad de la luna. Con una luna más pequeña, tus fuerzas de salto jugarán un papel más importante en esta igualdad, y puedes mantener tu luna a una distancia segura. Para una luna más grande, necesitará lograr condiciones de gravedad casi cero para que esto funcione, lo que significa que su luna se romperá.

Como una alternativa divertida de suspenso de ciencia ficción, tal vez tu luna esté siendo desorbitada. Por lo tanto, en algún momento, este escenario tiene que funcionar, incluso si estás a segundos de golpear el planeta.

No es posible en la práctica, independientemente de los valores que utilice.

Para una luna que mide demasiado menos en masa (y longitud), sería imposible tener bichos espaciales persiguiendo a todo un equipo de marines, ya que el lugar es simplemente demasiado pequeño para todos ellos. Además, no puedes saltar con éxito y luego volver a aterrizar en esa luna si es demasiado pequeña. Solo tu salto te lanzará al espacio. Eso sería un cuerpo del tamaño de un asteroide. Incluso para un cuerpo que mide 50 km cúbicos y está hecho de roca terrestre, hay pocas posibilidades de que aterrices si saltas con toda tu potencia. También tenga en cuenta que no podría correr a toda velocidad sobre un objeto de baja gravedad, ya que sus pies no tendrían suficiente fricción para agarrarse con fuerza al suelo y permitirle usar la fuerza de sus muslos para lanzarse hacia adelante. Solo serías capaz de saltar hacia arriba y luego te perderías en el espacio.

Si el cuerpo es lo suficientemente grande como para permitirte saltar y jugar juegos de persecución, entonces significa que el cuerpo es lo suficientemente grande como para no dejar que los mortales escapen saltando. Tendrías que tener piernas fuertes como saltamontes para obtener velocidad de escape en un cuerpo así.

Algo así como un mini-mini Io contra un planeta del doble del tamaño de Júpiter viene a la mente donde podría haber sido posible. Buena suerte con el salto sin embargo. No querrás entrar en la atmósfera de un gigante gaseoso...

¿Cómo es que todos se están perdiendo el panorama general?

No me importa si puedes saltar de la luna o no, un salto exitoso te pone en órbita pero no tienes forma de llegar desde la órbita al planeta. Si la luna estuviera tan lejos que su velocidad orbital estuviera dentro de lo que alguien podría producir saltando, estaría muy lejos de la esfera de la colina del cuerpo principal y se habría alejado hace mucho tiempo.

Por lo tanto, para lograr realmente esta maniobra, necesita una luna diminuta en una órbita muy distante alrededor de un planeta rebelde en las profundidades del espacio interestelar. Ahora tienes dos problemas:

1) El tiempo de caída será considerable; es probable que se quede sin soporte vital.

2) Un planeta en las profundidades del espacio interestelar va a estar frío. Increíblemente frío. No tendrá ninguna atmósfera de la que hablar y, por lo tanto, no tendrá aerofrenado ni paracaídas. Si tiene suficiente delta-v en su armadura para aterrizar en el planeta, todo el punto se volvió discutible ya que era mucho más de lo que necesitaba para salir de una luna de tamaño normal.

Sin mencionar que una vez que saltas eres un blanco fácil si tienen algún tipo de arma a distancia.

especialmente cuando recibe la ayuda de la atracción gravitatoria de un planeta cercano del tamaño de la Tierra.

No. La atracción de "marea" será insignificante en comparación con una atracción gravitatoria lo suficientemente grande como para permitir que los astronautas corran.

Si la luna está bloqueada en su lugar, entonces es posible que pueda justificar el abultamiento permanente de la marea dándoles suficiente elevación adicional para poder "saltar" de la luna.

Nuevamente, hacer que la "luna" sea lo suficientemente pequeña para que esto sea posible también puede reducir la fuerza gravitatoria local por debajo de la necesaria para poder correr.

Una posible solución para su escena sería hacer que la luna gire muy rápido (tanto la rotación como la revolución en la misma dirección). El punto más cercano al planeta también será el punto de la luna donde la rotación de la luna compensa la revolución de la luna. Agregar una montaña a lo largo del ecuador de la luna le dará un poco de empuje adicional.

La rotación arbitrariamente alta proporcionará la fuerza adicional necesaria para entrar en órbita y ayudará a "salir de la órbita" lejos de la luna y caer más cerca del planeta (aunque no rápidamente).

Me temo que eso no es posible.

En el ejemplo en el que dices que la luna pesa 1 kg, ¿cuánto pesaría el marino? ¿70, 80 o 90 veces más? entonces el marino sería el que atraería a la luna, no al revés (claro que ninguno de los dos se atraería apreciablemente). Si vas agregando peso a la luna, agregarás gravedad, pero no olvides la gravedad del planeta. Si por alguna extraña razón llegas a un punto en el que el planeta atraería al marino (simplemente saltando y sin usar dispositivos externos para escapar de la gravedad de la luna), entonces esa misma gravedad habría atraído a la luna al planeta hace mucho tiempo y no debería existir ninguna luna.