Definición de multiplicación ordinal

La multiplicación ordinal ⋅ se puede definir recursivamente a través de la suma ordinal + para cualquier ordinal α como sigue:

  • α ⋅ 0 = 0 .
  • α ⋅ ( β + 1 ) = α ⋅ β + α para cualquier ordinal β .
  • α ⋅ λ = ⋃ { α ⋅ β : β ∈ λ } para cualquier límite ordinal λ .

De acuerdo con esta definición ampliamente aceptada, α ⋅ β puede interpretarse informalmente como la "longitud" de la concatenación de β Copias de α . Por ejemplo,

  • ω ⋅ 2 es la longitud de la concatenación de 2 copias de ω , que es estrictamente mayor que ω , y
  • 2 ⋅ ω es la longitud de la concatenación de ω Copias de 2 = { 0 , 1 } , que sigue siendo igual a ω .

Desde ⋅ no es conmutativo como se puede ver en el ejemplo anterior, α ⋅ β no puede interpretarse como la "longitud" de la concatenación de α Copias de β . Sin embargo, personalmente creo que "la duración de α Copias de β "Hubiera sido una forma más natural de interpretar informalmente α ⋅ β . Por lo tanto, me pregunto si hay alguna razón histórica para esta definición ampliamente aceptada en lugar de definir ⋅ al revés, es decir, para cualquier ordinal β

  • 0 ⋅ β = 0 .
  • ( α + 1 ) ⋅ β = α ⋅ β + β para cualquier ordinal α .
  • λ ⋅ β = ⋃ { α ⋅ β : α ∈ λ } para cualquier límite ordinal λ .
Creo que es mejor escribir "sup" y no " ⋃ " allí. En caso de que hagamos ordinales por algún método que no sea el de von Neumann.

Respuestas (1)

Si observa la escritura de Cantor, encontrará la misma idea. Primero definió la multiplicación de la manera que sugieres. Pero luego cambió a la definición que usamos hoy. Referencia:
Joseph W. Dauben. Georg Cantor, sus matemáticas y filosofía del infinito. Prensa de la Universidad de Harvard, 1979

¿Por qué? Mi conjetura: Al definir α + β y α β lo hacemos por inducción en la segunda variable. Entonces, para ser consistente, hágalo de esa manera también para la definición de α β .

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