Nunca me he encontrado con el término 'espacio lineal' como sinónimo de 'espacio vectorial' y parece del libro que estoy usando (Álgebra lineal de Kostrikin y Manin) que el término espacio lineal es más familiar para los autores en lugar de utilizando el espacio vectorial. Este libro fue traducido de la edición rusa al inglés, por lo que parece que el término espacio lineal es/fue más predominante en los países de habla rusa.
Así que me preguntaba cuál es la intuición/motivación detrás de elegir tal término para el concepto de espacio vectorial. ¿Por qué tener la palabra 'espacio lineal' para espacios vectoriales? ¿Qué tienen de "lineales" los espacios vectoriales? ¿Es posible tener un espacio vectorial "no lineal"? ¿Por qué deberíamos distinguir entre "lineal" y "no lineal" si existe tal término espacio no lineal?
Sé que no he tenido suficiente álgebra lineal y exposición a las matemáticas superiores para tener una idea de por qué ese término se usa para espacios vectoriales y sería genial si alguien pudiera dar una exposición.
Creo que el siguiente artículo:
Gregorio H. Moore. La axiomatización del álgebra lineal: 1875-1940. Historia Mathematica , volumen 22, número 3, 1995, páginas 262–303
(Disponible aquí de Elsevier) puede arrojar algo de luz sobre su pregunta, aunque es posible que no tenga suficiente experiencia matemática para comprender todo el artículo. Este es mi entendimiento después de haber hojeado el artículo, pero debo enfatizar que no soy un historiador matemático, ¡así que no me cites!
La idea de un espacio abstracto donde se define una adición entre elementos y hay una acción de campo (en lugar de una realización particular como, por ejemplo, o ) parece deberse a Peano en 1888, donde los llamó sistemas lineales . La definición de un espacio vectorial abstracto no se popularizó hasta la década de 1920 en el trabajo de Banach, Hahn y Wiener, cada uno trabajando por separado. Hahn definió los espacios lineales para unificar la teoría de las integrales singulares y las transformaciones lineales de series de Schur (ambas emplean espacios de dimensión infinita). Wiener introdujo los sistemas vectoriales que parecen ser más o menos equivalentes a la definición de Banach, que fue motivado por encontrar un marco común para comprender los operadores integrales (el artículo de Banach de 1922 "Sur les operation dans les ensembles abstraites et leur application aux équations intégrales"( dominios ).
Entiendo que el nombre moderno espacio vectorial es popular debido a un libro de texto de Birkhoff y MacLane de 1941 de amplia circulación, A Survey of Modern Algebra, donde se usa el término.
Como Asaf y Hans han indicado en sus comentarios, la motivación para llamar a estos espacios espacios vectoriales es que, intuitivamente, generalizan nuestra comprensión de "vectores" (diferencias entre puntos) en un euclidiano de dimensión finita. La motivación para llamar a estos espacios espacios lineales se debe a que nuestra capacidad para sumar diferentes elementos es la característica crucial que nos permite aplicar la teoría general para resolver problemas específicos que no son obviamente (a los ojos de la década de 1920) sobre vectores (en particular, en PDE y física matemática).
En su curso, es poco probable que cubra material que requiera esta abstracción, pero es un buen hábito para que las matemáticas posteriores funcionen en general mientras mantiene su intuición en ejemplos concretos.
asaf karaguila
Hans Lundmark
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