¿Qué simetría es responsable de la independencia de amplitud del período de un oscilador armónico simple?

1. La derivación más limpia es acudir a la formulación hamiltoniana . Entonces la carga conservada es el hamiltoniano

   $$H~=~\frac{p^2}{2m}+\frac{kq^2}{2}\tag{A}$$ (básicamente el cuadrado de la amplitud$A$), y genera la transformación de simetría infinitesimal en el espacio de fase $$\begin{align}\delta q~=~&\epsilon \{q ,H\}, \cr \delta p~=~&\epsilon \{p ,H\}, \cr \delta t~=~&0. \end{align}\tag{B}$$ Esta es esencialmente la segunda suposición de OP.

2. Sin embargo, la transformación de simetría en el teorema de Noether no es única, cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí . Para la conservación de energía (primera conjetura de OP), esto se demuestra, por ejemplo, en mi respuesta Phys.SE aquí .

3. Vayamos a las variables de acción angular

   $$\begin{align} \varphi~:=~&\arg(p+im\omega q)~\sim~\varphi+2\pi, \cr J~:=~&\frac{1}{2\pi}\oint p \mathrm{d}q. \cr \{\varphi,J\}~=~&1. \end{align}\tag{C}$$ Entonces el hamiltoniano SHO (A) se convierte en $$H~=~\omega J,\quad\text{where}\quad \omega~:=~\sqrt{k/m}.\tag{D}$$

4. El hecho de que el período no dependa de la amplitud está codificado por la constante de movimiento.

   $$Q~=~\varphi -\omega t.\tag{E}$$ Genera la transformación cuasi-simétrica infinitesimal
   $$\begin{align} \delta \varphi~=~&\epsilon \{\varphi ,Q\}~=~0, \cr \delta J~=~&\epsilon \{J ,Q\}~=~-\epsilon, \cr \delta t~=~&0.\end{align} \tag{F}$$

Para el oscilador armónico simple, las dos transformaciones de simetría son las mismas:

Tiempo de traducción toma

Escribamos el oscilador armónico Lagrangiano como$L = \frac{1}{2} (\dot{x}^2 - \omega^2 x^2)$.

¿Cuál es la simetría que garantiza que el periodo no dependa de la amplitud?

Es natural suponer que esta simetría debería implicar una transformación que varía la amplitud . Ahora, simplemente podemos escribir$\delta x = \epsilon x$, dónde$\epsilon$es un parámetro infinitesimal, y este cambio de escala espacial es una simetría de la ecuación de movimiento $\ddot{x} = -\omega^2 x$, que es suficiente para sacar la conclusión deseada. Cualquier solución se puede transformar en una solución con diferente amplitud pero el mismo período.

Pero esto no es lo suficientemente bueno. El espíritu de la pregunta es encontrar una simetría de la acción y una ley de conservación de Noether correspondiente que imponga la propiedad deseada;$\delta x = \epsilon x$no es una simetría de la acción y no corresponde a una ley de conservación. Tratemos de superar esto dentro del marco lagrangiano.

Para encontrar tal simetría, el paso clave es que podemos usar una función de estado en lugar de la constante$\epsilon$. Ahora, voy a hacer un poco de trampa para identificar la función correcta: la respuesta de Qmechanic ya ha indicado (en un formalismo hamiltoniano) que la transformación relevante cambia la amplitud para alterar la energía.$H$por una constante aditiva . Porque$H$es un polinomio homogéneo en$x$, cuando cambiamos$x$en una cantidad proporcional a$x$, cambiamos$H$en una cantidad proporcional a$H$. Así que para cambiar$H$por una constante, debemos compensar dividiendo la cantidad de reescalado de$x$por$H$. Esto lleva a

¿Es esto una simetría de la acción? Evaluemos:

Sin embargo,$B$es "como" una derivada de tiempo total en el sentido de que la contribución de la ecuación de movimiento derivada de ella parece desaparecer de manera idéntica, es decir, taponar y resollar da

Repasando el teorema de Noether, la derivada explícita del tiempo total que extrajimos en$\delta L$anterior se cancela, y la "ley de conservación" se expresa como

¿Qué está pasando? Desde$B$no es una derivada del tiempo total,$\int dt\, B$no depende únicamente de los estados inicial y final. Sin embargo, el cálculo anterior muestra que$\int dt\, B$permanece invariable ante variaciones infinitesimales de la trayectoria. La resolución es que$\int dt\, B$es un invariante topológico .

La trayectoria se puede trazar como una curva en el$(\dot{x}, \omega x)$avión. Si esto se trata como un plano euclidiano, entonces$\omega B$es la velocidad angular alrededor del origen. Entonces$(\omega/2\pi) \int dt\, B$es el número de "órbitas" o "ciclos" , que está bien definido para una trayectoria arbitraria en el plano perforado con el origen$(\dot{x}, \omega x) = (0, 0)$excluido por la restricción$H \ne 0$.

Mientras$B$no es una derivada temporal total, podemos hacer trampa y relacionarla con la derivada temporal de una función multivaluada del estado: el ángulo de fase $\varphi$en el$(\dot{x}, \omega x)$plano, que está bien definido hasta un múltiplo de$2\pi$. El múltiplo específico de$2\pi$puede determinarse siguiendo la trayectoria continua específica siempre que obedezca$H \ne 0$.

Ahora con$B = \dot{\varphi}/\omega$, la "ley de conservación" se convierte en

Primero transformé la ecuación diferencial de segundo orden en una ecuación diferencial de primer orden.

Con$x=y_1~$y$~\dot x=y_2$tu obtienes

el valor propio$~\pm i~$de la matriz Q son proporcionales al periodo de$x(t)$. Los valores propios no cambiarían si transformara la matriz Q con una transformación ortogonal 2D$~R$.

De este modo$Q\mapsto R^T\,Q,R$

La solucion es

dónde$\vec v_i$son los vectores propios constantes.

para$Q\mapsto i\,\left(T^{-1}\,Q\,T\right)$dónde$T=\left[\vec v_1~,\vec v_2\right]$, los valores propios tampoco cambian.

Y debido a que la matriz Q es constante, los valores propios (período) no dependen de la amplitud.

Guess 1 señala que la conservación de la energía de cada solución implica la conservación de la amplitud de cada solución.

Guess 2 señala que el conjunto de soluciones se cierra bajo la rotación en el espacio de fase porque dicha rotación conecta las soluciones de una amplitud dada.

La suposición 1 es la única que presenta un argumento relevante para asociar un sistema de la acción a una ley de conservación; como se adivinó, la energía (Hamiltoniana, llámela como quiera) se conserva.

La suposición 2 se refiere a una preocupación separada, a saber, el hecho de que especificar una fase es una forma de ruptura de simetría espontánea. (Claro, las personas generalmente tienen en mente algo como el bosón de Higgs cuando usan esa jerga, pero este también es un uso válido del término).

Solo la primera conjetura es una simetría porque solo ahí tuviste que usar las ecuaciones de movimiento para afirmar que$\delta x = \dot{x} \delta t$dejó la amplitud invariante.

La segunda conjetura es una redundancia en la forma en que especifica la energía funcional. Puedes pensar en ello como una transformación de coordenadas. Pero como actúa sobre$x \equiv q$y$\dot{x} \equiv p$independientemente, se requiere que su forma sea canónica . De la forma global de la transformación

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Lo que pasa con la amplitud y la frecuencia es que son dos tipos de parámetros completamente diferentes. El primero lo establece el estado inicial (después del cual se conserva) mientras que el segundo es una propiedad fija del sistema. Entonces, una pregunta sobre por qué son independientes puede interpretarse como "por qué se permiten amplitudes arbitrarias". Para mí, esto se deriva del hecho de que$A$se puede expresar usando solo$x$y$\dot{x}$, que son los grados de libertad no especificados por una EDO de segundo orden.

Preguntar qué ley de conservación es responsable de la existencia de este (o cualquier otro) parámetro libre en la solución suena engañoso. Se puede contar el número de parámetros libres comprobando cuántas derivadas temporales aparecen en las ecuaciones de movimiento pero, en general, esto será mayor que el número de cantidades conservadas independientes. Incluso en problemas como este, donde los parámetros libres y las cantidades conservadas son iguales en número (conocidos como sistemas integrables ), no veo qué haría que una forma de emparejarlos sea mejor que la otra.