Teorema de Noether: Hay cantidades conservadas correspondientes a simetrías de posición, orientación y tiempo, pero ¿por qué no la velocidad?

El Teorema de Noether parece ser uno de los resultados más fundamentales y bellos de toda la física. Según tengo entendido, el hecho de que las leyes de la física sean las mismas independientemente de la posición, la orientación y el tiempo conduce a la conservación del momento, el momento angular y la energía, respectivamente.

Pero las leyes de la física también son independientes de la velocidad. ¿Por qué esto no conduce a otra cantidad conservada? ¿O es solo la tercera ley de Newton (las fuerzas en un sistema cerrado deben sumar cero)?

Es posible que desee ver esto de una manera más relativista. La homogeneidad del espacio-tiempo conduce a que la energía-momento se conserve en la teoría de campos. La isotropía conduce a la versión relativista general del momento angular. Eso es. El grupo de Poincaré es el más general que hay (susy está un poco abajo ahora mismo). Eso no quiere decir que otros sistemas puedan presentar otras invariancias y luego tener una cantidad conservada adjunta, sino que tienen una generalidad y un alcance limitados.
@ Nelson Vanegas A. Interpreto "homogeneidad del espacio-tiempo" en el sentido de que es igual en todos los lugares y momentos. No incluiría necesariamente la velocidad. ¿Es ese un pensamiento erróneo?
@Qmechanic Seguí tu enlace, que parece ser exactamente la misma pregunta. La respuesta parece ser solo una declaración sobre dónde está el centro de masa en un instante particular en el tiempo. Pero, ¿en qué sentido es esta una cantidad conservada, si no se aplica a otros instantes en el tiempo?

Respuestas (2)

El problema aquí es que la afirmación de que las leyes de la física son independientes de la velocidad se ha malinterpretado o no es lo suficientemente precisa. El teorema de Noether se refiere explícitamente a las teorías descritas a través de un Lagrangiano. Un lagrangiano en esencia, debería contener algún tipo de término cinético. Sin ir a un escenario relativista, puede considerar una partícula libre en la mecánica clásica, para la cual

L F r mi mi = 1 2 metro ( d X d t ) 2 = 1 2 metro v 2
Puedes intentar desplazar la velocidad fácilmente. v → v + Δ v , y verá que el Lagrangiano en realidad cambia en una cantidad que debería ser proporcional a la aceleración, por lo tanto, un sistema descrito por tal Lagrangiano no es invariante bajo cambios infinitesimales en la velocidad en general . Dado que este término (o similar) aparece en la mayoría de los lagrangianos de sistemas físicos, los cambios de velocidad no corresponden a simetrías.

Sin embargo, esto no significa que uno no pueda construir un Lagrangiano que sea simétrico bajo tales cambios. Como se mencionó en los comentarios y otras respuestas, si interpreta los desplazamientos en la velocidad como "impulsos", entonces un Lagrangiano relativista muestra tal simetría, aunque a menudo es más útil pensar en ello como una rotación imaginaria, en lugar de un cambio de velocidad (si se entiende de forma lineal), o sea, se está cambiando el tiempo y el espacio de una manera muy específica, ver transformaciones de Lorentz.

Sugeriría tratar de seguir la derivación habitual de corrientes conservadas para ver que los lagrangianos generalmente no muestran una simetría de "velocidad", al menos no en el sentido de simetrías de Noether. También recomiendo considerar la acción asociada al Lagrangiano anterior con la adición de una raíz cuadrada, lo que hace que la acción sea "velocidad invariante" porque solo dependerá de los puntos finales. Esto ilustra claramente el punto de que la energía cinética depende del marco (en la mecánica clásica), pero la longitud real del arco de la trayectoria no lo es.

Esa respuesta es útil. ¿Tiene algún comentario sobre "las fuerzas en un sistema cerrado deben sumar cero" como representación de una cantidad conservada?
Si no hay fuerzas externas, la consecuencia inmediata es que las fuerzas internas suman cero, pero además, sin fuentes externas, significa conservación del momento. Entonces, nuevamente está reformulando la invariancia bajo las traducciones.

Hay cantidades conservadas relacionadas con los impulsos de Lorentz. Estos están incluidos en el tensor de momento angular, que se conserva si el Lagrangiano es invariante bajo las transformaciones de Lorentz.

@ my2cents Interpreto que los aumentos de Lorentz tienen que ver con la velocidad en lugar del momento angular. ¿Existe quizás una explicación más intuitiva?
@RogerWood La transformación general de Lorentz incluye rotaciones y aumentos. Thee es una conexión entre un impulso y una rotación en el espacio de Minkowski. Consulte, por ejemplo, physics.stackexchange.com/questions/544002/… .
gracias, ahora entiendo.
Teorema de Noether: Hay cantidades conservadas correspondientes a simetrías de posición, orientación y tiempo, pero ¿por qué no la velocidad?
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