¿Por qué es importante el teorema de Noether?

Question

¿Por qué es importante el teorema de Noether?

Defcon97

Apenas estoy empezando a entender la mecánica analítica, por lo que esta pregunta puede sonar extraña o trivial para algunos de ustedes.

En clase me presentaron el teorema de Noether, que establece que si la función lagrangiana es invariante bajo un grupo continuo de transformaciones, entonces es posible encontrar una ley de conservación.

Pero un sistema lagrangiano con $n$ grados de libertad obedece a las ecuaciones de Euler-Lagrange, que son:

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$

por $i = 1, ..., n$ .

Esta ecuación representa un sistema de $n$ ecuaciones diferenciales de segundo orden que ya tiene $2n$ constantes arbitrarias en su solución general.

Obviamente, estas constantes deben conservarse en el tiempo, por lo que en realidad representan leyes de conservación.

Entonces mi pregunta es, ¿cuál es la utilidad de un teorema que te dice bajo qué condiciones es posible encontrar una ley de conservación, si ya sabemos por las ecuaciones de Euler-Lagrange que un sistema Lagrangiano tiene $2n$ ¿leyes de conservación?

LMP

Por supuesto que son equivalentes para el caso considerado. Lo siento si sonó como si quisiera decir que escribiste algo mal (o que tu maestro te engañó). Lo que quise decir es que el teorema parece ser trivial en el caso de la mecánica lagrangiana porque, como notó, es fácil de verificar a partir de las ecuaciones EL. De hecho, el concepto de transformaciones continuas invariantes (simetrías en cierto sentido) hace que el teorema sea más general.

LMP

Por cierto, no me preocuparía que los conceptos en el artículo wiki sean difíciles de entender. Si continúas estudiando física (y matemáticas) entenderás lo que hay allí, muy claro.

j murray

Es importante señalar que el teorema de Noether no solo nos dice cuándo existen las leyes de conservación, sino que nos dice explícitamente cómo construir las cantidades conservadas y las corrientes asociadas.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/8626/2451 , physics.stackexchange.com/q/21572/2451 y enlaces allí.

J.Manuel

Si resuelve la ecuación de Euler-Lagrange para una partícula bajo un campo gravitatorio constante (puede ser el problema clásico de caída libre), obtendrá para el eje y la siguiente solución:

y = \frac{1}{2} g t^{2} + c_{1} t + c_{2}

$y= \frac{1}{2}gt^2+c_1t+c_2$ Después de aplicar las condiciones iniciales al problema, te darás cuenta de que

c_{1}

$c_1$ es solo la velocidad inicial

v_{0}

$v_0$ y

c_{2}

$c_2$ la altura inicial

h_{0}

$h_0$ . Por lo tanto,

c_{1}

$c_1$ y

c_{2}

$c_2$ son velocidades y posiciones. No se sabe que sean cantidades "conservadas".

Magoo

Esto es tan obvio. Es importante porque si no lo tuviéramos, tendríamos que pensar en uno de Noether.

Respuestas (3)

¿Por qué es importante el teorema de Noether?

Por supuesto que son equivalentes para el caso considerado. Lo siento si sonó como si quisiera decir que escribiste algo mal (o que tu maestro te engañó). Lo que quise decir es que el teorema parece ser trivial en el caso de la mecánica lagrangiana porque, como notó, es fácil de verificar a partir de las ecuaciones EL. De hecho, el concepto de transformaciones continuas invariantes (simetrías en cierto sentido) hace que el teorema sea más general.
Por cierto, no me preocuparía que los conceptos en el artículo wiki sean difíciles de entender. Si continúas estudiando física (y matemáticas) entenderás lo que hay allí, muy claro.
Es importante señalar que el teorema de Noether no solo nos dice cuándo existen las leyes de conservación, sino que nos dice explícitamente cómo construir las cantidades conservadas y las corrientes asociadas.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/8626/2451 , physics.stackexchange.com/q/21572/2451 y enlaces allí.
Si resuelve la ecuación de Euler-Lagrange para una partícula bajo un campo gravitatorio constante (puede ser el problema clásico de caída libre), obtendrá para el eje y la siguiente solución: $y= \frac{1}{2}gt^2+c_1t+c_2$ Después de aplicar las condiciones iniciales al problema, te darás cuenta de que $c_1$ es solo la velocidad inicial $v_0$ y $c_2$ la altura inicial $h_0$ . Por lo tanto, $c_1$ y $c_2$ son velocidades y posiciones. No se sabe que sean cantidades "conservadas".
Esto es tan obvio. Es importante porque si no lo tuviéramos, tendríamos que pensar en uno de Noether.

usuario1379857 · Answer 1

Usualmente llamamos ecuaciones como

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$

"ecuaciones de movimiento", porque son ecuaciones que nos dicen cómo las variables de nuestro sistema (aquí $q_i$ ) evolucionan en el tiempo. De hecho, en general, la solución a $n$ Las ecuaciones diferenciales de segundo orden involucran $2n$ constantes de integración (o condiciones iniciales) en la solución. Sin embargo, la mayoría de la gente no llamaría a estas constantes de integración "leyes de conservación". En uso general, una "cantidad conservada" $Q$ es una función de las variables de configuración (aquí $q_i$ y $\dot q_i$ ) que no cambia en el tiempo cuando las variables de configuración evolucionan según las ecuaciones de movimiento:

\frac{d}{d t} q (q_{i}, {\dot{q}}_{i}) = 0.

$\frac{d}{dt} Q(q_i, \dot q_i) = 0.$

Tenga en cuenta que $Q(q_i, \dot q_i)$ no depende de $t$ explícitamente; solo depende de $t$ en la medida en $q_i$ y $\dot q_i$ hacer. Sin embargo, una condición inicial depende de $q_i$ , $\dot q_i$ , y $t$ . Necesitas saber $t$ con el fin de saber "cuánto hay que retroceder el reloj" para encontrar la posición inicial y la velocidad.

Una hábil "demostración" del teorema de Noether es la siguiente. Digamos que tienes algún grupo diferenciable de transformaciones que dejan tu Lagrangiano invariante. Imagine cambiar una ruta en el espacio de configuración por una acción de grupo infinitesimal, usando un número pequeño $\varepsilon$ . Por ejemplo, una traslación infinitesimal en el $x$ -dirección en el espacio 3D ( $i = 1, 2, 3$ ) estaría dada por

q_{1} \to q_{1} + ε

$q_1 \to q_1 + \varepsilon$

q_{2} \to q_{2}

$q_2 \to q_2$

q_{3} \to q_{3}

$q_3 \to q_3$

{\dot{q}}_{i} \to {\dot{q}}_{i}

$\dot q_i \to \dot q_i$

y una rotación infinitesimal en el $xy$ -el plano estaría dado por

q_{1} \to q_{1} + ε q_{2}

$q_1 \to q_1 + \varepsilon q_2$

q_{2} \to q_{2} - ε q_{1}

$q_2 \to q_2 - \varepsilon q_1$

{\dot{q}}_{1} \to {\dot{q}}_{1} + ε {\dot{q}}_{2}

$\dot q_1 \to \dot q_1 + \varepsilon \dot q_2$

{\dot{q}}_{2} \to {\dot{q}}_{2} - ε {\dot{q}}_{1}

$\dot q_2 \to \dot q_2 - \varepsilon \dot q_1$

q_{3} \to q_{3}

$q_3 \to q_3$

{\dot{q}}_{3} \to {\dot{q}}_{3}

$\dot q_3 \to \dot q_3$

Bajo estas transformaciones, el Lagrangiano $L(q_i, \dot q_i)$ no cambiará su valor. En otras palabras, el cambio en el Lagrangiano se puede expresar como

d L (q_{i}, {\dot{q}}_{i}) = ε A (q_{i}, {\dot{q}}_{i})

$\delta L(q_i, \dot q_i) = \varepsilon A(q_i, \dot q_i)$

dónde $A = 0$ si la acción del grupo es una simetría. Aquí está la parte ingeniosa: ahora imagina que el parámetro $\varepsilon$ depende del tiempo, es decir $\varepsilon(t)$ . Para nuestras dos acciones anteriores, las transformaciones se convertirían en

q_{1} \to q_{1} + ε

$q_1 \to q_1 + \varepsilon$

{\dot{q}}_{1} \to {\dot{q}}_{i} + \dot{ε}

$\dot q_1 \to \dot q_i + \dot \varepsilon$

q_{2} \to q_{2}

$q_{2} \to q_{2}$

q_{3} \to q_{3}

$q_{3} \to q_{3}$

{\dot{q}}_{2} \to {\dot{q}}_{2}

$\dot q_{2} \to \dot q_{2}$

{\dot{q}}_{3} \to {\dot{q}}_{3}

$\dot q_{3} \to \dot q_{3}$

y

q_{1} \to q_{1} + ε q_{2}

$q_1 \to q_1 + \varepsilon q_2$

q_{2} \to q_{2} - ε q_{1}

$q_2 \to q_2 - \varepsilon q_1$

{\dot{q}}_{1} \to {\dot{q}}_{1} + ε {\dot{q}}_{2} + \dot{ε} q_{2}

$\dot q_1 \to \dot q_1 + \varepsilon \dot q_2 + \dot \varepsilon q_2$

{\dot{q}}_{2} \to {\dot{q}}_{2} - ε {\dot{q}}_{1} - \dot{ε} q_{1}

$\dot q_2 \to \dot q_2 - \varepsilon \dot q_1 - \dot \varepsilon q_1$

q_{3} \to q_{3}

$q_3 \to q_3$

{\dot{q}}_{3} \to {\dot{q}}_{3}

$\dot q_3 \to \dot q_3$

(donde el término adicional anterior proviene de la regla del producto al diferenciar por $t$ ).

Ahora, $\varepsilon(t)$ y $\dot \varepsilon(t)$ ambos son números diminutos que cambian de ruta en el espacio de configuración. Eso significa que, simplemente haciendo una expansión de Taylor de primer orden, el cambio en $L$ bajo estas transformaciones se puede expresar como

d L = ε A + \dot{ε} B

$\delta L = \varepsilon A + \dot \varepsilon B$

donde el $A$ es el mismo $A$ como antes, lo que significa $A = 0$ si la transformación es una simetría. Ahora, en caminos reales, $\delta S = 0$ por cualquier pequeña variación que hagamos en nuestro camino. (Ese es solo el principio de acción mínima). Eso incluye nuestra pequeña variación de acción grupal. Por lo tanto, en los caminos reales,

0 = d S = \int d L d t = \int \dot{ε} B d t = - \int ε \dot{B} d t .

$0 = \delta S = \int \delta L dt = \int \dot \varepsilon B dt = - \int \varepsilon \dot B dt.$

(En el último paso integramos por partes e impusimos condiciones de contorno $\varepsilon = 0$ en el límite de la integración.)

Por lo tanto, si $\delta S$ es para ser $0$ para cualquier $\varepsilon$ , Debemos tener

\dot{B} = 0

$\dot B = 0$

asi que $B$ es una cantidad conservada. Tenga en cuenta que si nuestra transformación no fuera una simetría, entonces $A \neq 0$ y

\dot{B} = A

$\dot B = A$

significa que $B$ cambiaría en el tiempo y no sería una cantidad conservada. Esto concluye la prueba de que las simetrías dan leyes de conservación y también te enseña cómo encontrar dichas cantidades conservadas.

Ahora todo esto es agradable e interesante. Las simetrías implican leyes de conservación. En cierto sentido, hemos entendido de dónde vienen las "cantidades conservadas" (simetrías). Las cantidades conservadas son muy útiles en física porque generalmente facilitan mucho el análisis del sistema. Por ejemplo, incluso en la introducción a la física, la conservación del momento y la energía siempre se utilizan para facilitar la resolución del movimiento de una partícula. En ejemplos más complicados, como por ejemplo un gas de muchas partículas, la evolución del sistema es demasiado complicada para esperar describirla. Sin embargo, si conoce algunas cantidades conservadas (como la energía, por ejemplo), aún puede tener una idea bastante buena de cómo se comporta el sistema.

En la teoría cuántica de campos, los campos cuánticos también se rigen por lagrangianos. Sin embargo, a menudo es difícil averiguar exactamente en qué se debe basar el Lagrangiano de los campos cuánticos a partir de datos experimentales. Sin embargo, algo que es fácil de determinar a partir de datos experimentales son las cantidades conservadas, como carga, número de leptones, número de bariones, hipercambio débil y muchos otros. Los experimentadores pueden averiguar cuáles son estas cantidades conservadas, y luego los teóricos crearán lagrangianos con simetrías que tengan las cantidades conservadas correctas. Esto ayuda mucho a los teóricos a descifrar las leyes fundamentales de la física. Históricamente, las consideraciones de simetrías y cantidades conservadas desempeñaron un papel importante en la construcción del modelo estándar y continúan desempeñando un papel crucial en los teóricos que intentan descubrir qué hay más allá.

EDITAR: Entonces, para responder correctamente a su pregunta, cualquier sistema de ecuaciones diferenciales tendrá constantes de integración (también conocidas como condiciones iniciales). Sin embargo, a partir de las ecuaciones de movimiento derivadas de un lagrangiano (y todas las leyes físicas conocidas se pueden escribir con lagrangianos) tenemos simetrías adicionales que tienen un significado físico importante. Además, las soluciones exactas de las ecuaciones diferenciales suelen ser imposibles de resolver para cualquier sistema moderadamente complejo. Por lo tanto, encontrar las condiciones iniciales suele ser una pérdida de tiempo, mientras que el teorema de Noether es fácil de usar.

Por que $\varepsilon$ pequeña implicación $\dot\varepsilon$ ¿pequeña? ¿Es una suposición sobre $\varepsilon$ ?
Bueno, ya que puedes elegir las variaciones. $\varepsilon$ , de hecho puede imponer que $\dot \varepsilon$ es pequeño. Además, otra forma (quizás un poco más rigurosa) de hacer el cálculo de variaciones es tomar la variación en el camino a ser $\varepsilon \eta(t)$ , dónde $\eta$ no es infinitesimal y $\varepsilon$ es constante Mientras $\dot \eta$ está delimitado por arriba, $\varepsilon \dot \eta$ se encogerá como $\varepsilon \to 0$ .
Para cualquier otra persona interesada en los detalles, $A$ en realidad no necesita ser $0$ para que la transformación sea una simetría, $A$ solo necesita ser una derivada de tiempo total, digamos $A = \dot C$ . En cuyo caso, $B - C$ sería entonces la cantidad conservada completa. Un buen ejemplo de esto son las traducciones de tiempo. Bajo una traducción de tiempo $q \to q + \varepsilon \dot q$ , nuestro " $A$ " sería $A = \dot L$ , y $B - L$ resulta ser la energía.

librecharly · Answer 2

Las constantes 2n en el sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden (ecuaciones de Lagrange) son simplemente las condiciones iniciales arbitrarias de coordenadas y velocidades generalizadas del sistema que determinan el desarrollo temporal del sistema para un caso especial. No son cantidades conservadas del sistema. Las cantidades conservadas se derivan de la forma funcional de la función de Lagrange.

JEB · Answer 3

El teorema de Noether es muy importante, ya que cubre las "grandes" leyes de conservación:

La invariancia en el tiempo implica conservación de energía.

La invariancia de traslación (homogeneidad del espacio) implica la conservación del impulso.

La invariancia rotacional (isotropía del espacio) implica la conservación del momento angular.

Además, depende de lo que consideres tu sistema: considera una bola en una caja en gravedad. Es independiente del tiempo y la energía se conserva, pero es necesario sumar la energía potencial a la energía cinética. La cantidad de movimiento no se conserva, y eso se debe a que la energía potencial depende de la altura. Tenga en cuenta que el espacio es invariante bajo traslaciones horizontales y, de hecho, los componentes horizontales del momento se conservan (bueno, hasta que golpea una pared que rompe la simetría).

Asimismo, el momento angular del péndulo de Foucault no se conserva: hay una dirección preferida en el espacio definida por el eje de la Tierra.

Cosas más complicadas como la simetría de calibre local conducen a EM y QCD y, por supuesto, la simetría de calibre que rompe los términos de masa en la interacción débil fue una de las motivaciones para el bosón de Higgs.

También hay simetrías discretas que conducen a leyes de conservación discretas, por ejemplo, la paridad.

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