Teoría más débil equi-consistente con ZFC

Recientemente leí que ZF es equi-consistente con ZFC. Por lo que entiendo, para establecer esto transformamos una prueba formal de una contradicción en ZFC en una prueba formal de una contradicción en ZF.

Hacemos esto restringiendo todas las cuantificaciones al universo construible : ∀ X , ϕ es reemplazado por ∀ X , construible ( X ) ⇒ ϕ y ∃ X , ϕ es reemplazado por ∃ X , construible ( X ) ∧ ϕ . Debido a que el universo construible es un modelo interno, esta transformación sintáctica produce una prueba formal válida, que respeta las reglas de inferencia.

Y las invocaciones del axioma de elección se vuelven

∀ X , construible ( X ) ⇒ ∃ F , construible ( F ) ∧ ElecciónFunción ( F , X )

Pero eso ya no es un axioma, es un teorema de ZF. Por lo tanto tenemos una prueba formal de una contradicción en ZF. ¿Es esto correcto?

Me pregunto hasta dónde podemos continuar con estas pruebas de equi-consistencia en ZF. ¿Podemos eliminar el axioma de fundamento? ¿Incluso el axioma del infinito? Lo dudo porque, si pudiéramos eliminar todos los axiomas, ZFC sería equi-consistente con la teoría vacía, que es consistente.

Puedes quitar la base con el mismo truco. Ahora restringiría sus cuantificadores al universo bien fundado. No puede eliminar el infinito, o terminaría con una teoría que es esencialmente solo aritmética de Peano.
Sin embargo, tu frase es un poco extraña. Puede eliminar infinitas instancias de reemplazo, de varias maneras, e incluso asegurarse de que ninguna subteoría común sea suficiente. No me queda claro que uno sea más débil que el otro en un sentido razonable.

Respuestas (1)

Sí, puedes eliminar el axioma de los fundamentos con el mismo argumento: pasar de un universo de Z F − F norte d al universo de von Neumann, que es la clase bien fundamentada y transitiva más grande.

Cuando elimina Infinity, Power set o Replacement, obtiene teorías estrictamente más débiles. Para ver por qué, tenga en cuenta que V ω , H C y V ω + ω son modelos de Z F − I norte F i norte i t y , Z F − PAG o w mi r , Z F − R mi pag yo a C mi metro mi norte t respectivamente. Por lo tanto Z F prueba que estas teorías tienen un modelo, por lo que son consistentes. En particular por el teorema de Gödel ninguno de ellos puede demostrar que Z F en sí mismo es consistente.

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