Expresar las declaraciones en notación lógica formal

Su solución para (a) es correcta. Tenga en cuenta que, de acuerdo con esta definición, todo número entero no negativo ($0$incluido) es un divisor de$0$, y$0$no es divisor de ningún otro número no negativo.

Algunos libros de texto excluyen $0$de la definición de divisor (ver aquí para una breve justificación), en ese caso la formalización correcta de "$m$es un divisor de$n$" sería:

(a')$\ \text{DIV}(m,n) \ : \quad m \neq 0 \land n \neq 0 \land \exists \, k \, (m \cdot k = n)$

La elección entre (a) y (a') depende de la definición de divisor adoptada por su libro de texto o curso. La forma en que formalizas$\text{DIV}(m,n)$afecta la forma en que formaliza las otras declaraciones.

Tenga en cuenta que$m \neq n$es solo una abreviatura de$\lnot (m = n)$, por lo que se puede expresar en su idioma.

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Un entero no negativo$n$es primo si sus únicos divisores son$1$y$n$y es mayor que$1$(ver aquí para una breve discusión sobre las ventajas de excluir$1$de números primos). Desde$0$tiene muchos divisores además de$1$y$0$, es equivalente a decir que un entero no negativo$n$es primo si sus únicos divisores son$1$y$n$y es diferente de$1$. Entonces, su respuesta es incorrecta, la formalización correcta de "$n$es primo" es:

(b)$\ \text{PRIME}(n) \ : \quad n \neq 1 \land \forall k \, (\text{DIV}(k,n) \to (k=1 \lor k = n))$

La formalización (b) anterior supone que la definición de divisor incluye$0$, es decir$\text{DIV}(m,n)$se define como en su respuesta (a). Si su definición de divisor excluye$0$, es decir$\text{DIV}(m,n)$se define como en (a'), entonces$\text{DIV}(k,0)$es falso para todos$k$y entonces$\forall k \, (\text{DIV}(k,0) \to (k=1 \lor k = 0))$es vacuamente cierto , por lo que es necesario excluir explícitamente$0$de la definición de número primo. Por lo tanto, si$\text{DIV}(m,n)$se define como en (a'), entonces la formalización correcta de "$n$es primo" es:

(b')$\ \text{PRIME}(n) \ : \quad n \neq 0 \land n \neq 1 \land \forall k \, (\text{DIV}(k,n) \to (k=1 \lor k = n))$

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Su solución para (c) es correcta, si usa (a) como definición de$\text{DIV}(m,n)$.

Tenga en cuenta que$0$no es potencia de ningún número primo.

Si su definición de divisor excluye$0$, es decir$\text{DIV}(m,n)$se define como en (a'), entonces$\text{DIV}(k,0)$es falso para todos$k$y entonces$\forall k \, (\text{DIV}(k,0) \to (\text{DIV}(m,k) \lor k = 1))$es vacuamente cierto , por lo que es necesario excluir explícitamente$0$de la definición de potencia de número primo. Por lo tanto, si$\text{DIV}(m,n)$se define como en (a'), entonces la formalización correcta de "$n$es potencia de un número primo" es:

(C')$\ \text{POWER_PRIME}(n) \ :$

$$\quad n \neq 0 \land \exists m \,\Big(\text{PRIME}(m) \land \forall k \, \big(\text{DIV}(k, n) \to (\text{DIV}(m, k) \vee k=1) \big) \Big).$$