Necesito ayuda con respecto a una prueba en First Order Logic

Estoy tratando de probar la siguiente pregunta: afirmamos que dada cualquier oración φ y cualquier modelo M (del mismo vocabulario), y cualquier asignación de variables g y g′ en M, entonces M, g |= φ iff M, g ′ |= φ. Queremos que el lector haga dos cosas. Primero, demuestre que la afirmación es falsa si φ no es una oración sino una fórmula que contiene variables libres. Segundo, demuestre que la afirmación es verdadera si φ es una oración.

He intentado el siguiente enfoque: aquí, dada cualquier oración$\phi$y cualquier modelo$M$(del mismo vocabulario), y cualquier asignación de variables$g$y$g'$en$M$entonces,$M,g\models \phi\; \iff \; M,g'\models \phi$. Ahora si$\phi$es una fórmula, entonces de las definiciones de satisfacción de fórmula en un modelo$M$el primero se da a continuación, \$M,g\models R(\tau_1,...,\tau_n) \iff (I_F^g(\tau_1),...,I_F^g(\tau_n)) \in F(R)$\$M,g'\models R(\tau_1,...,\tau_n') \iff (I_F^{g'}(\tau_1),...,I_F^{g'}(\tau_n)) \in F(R)$\

Pero aquí$I_F^g(\tau_1) \neq I_F^{g'}(\tau_1)$porque el término$\tau_1$puede tener diferentes valores para las asignaciones$g$y$g'$para el modelo$M$. De este modo$M,g\models \phi\; \iff \; M,g'\models \phi$no es verdad si$\phi$es una fórmula. No es necesario verificar las otras definiciones de satisfacción de la fórmula, ya que tiene que satisfacer todas las definiciones.

Realmente no estoy seguro de si voy en la dirección correcta. Hay seis definiciones diferentes de satisfacción dadas para una fórmula.$\phi$. ¿Alguien puede ayudarme si esta es la forma correcta? ¿O cómo puedo escribir la prueba?