¿Cuál es la diferencia entre implicación material e implicación lógica?

Question

¿Cuál es la diferencia entre implicación material e implicación lógica?

kjo

Cuando leo las definiciones de implicaciones materiales y lógicas, me parecen bastante equivalentes. ¿Podría alguien darme un ejemplo que ilustre la diferencia?

(Por cierto, no tengo ningún problema con la equivalencia entre $\lnot p \vee q$ y $p \to q$ , también conocido como "si $p$ entonces $q$ ". Mi confusión es con la idea de que hay dos formas diferentes de implicación, material y lógica.)

¡Gracias!

André Nicolás

Efectivamente son idénticos. Se supone que el término "implicación material" distingue la implicación, en el sentido lógico, de la noción informal de implicación, que conlleva algún sentido de conexión.

charlie parker

enlace relacionado: quora.com/…

charlie parker

una cosa que no tengo 100% clara es la diferencia entre implicación lógica y modus ponens. Parece ser una idea clave distinguir entre implicación material y lógica.

ryang

En el contexto de la lógica de primer orden, la implicación lógica (sinónimo de implicación)

⊨

$\models$ ) es un concepto metalógico que se refiere a un condicional material

(\to)

$(\to)$ eso es una validez, es decir, eso es cierto independientemente de la interpretación. Relacionado: implicación regular

(\Rightarrow)

$(\Rightarrow)$ versus material condicional

(\to)

$(\to)$ . @CharlieParker Modus Ponens (un concepto metalógico) es la forma de argumento (válida)

(A and A \Rightarrow B) \Rightarrow B .

$(A \text { and } A\Rightarrow B)\Rightarrow B.$

Respuestas (1)

¿Cuál es la diferencia entre implicación material e implicación lógica?

Efectivamente son idénticos. Se supone que el término "implicación material" distingue la implicación, en el sentido lógico, de la noción informal de implicación, que conlleva algún sentido de conexión.
una cosa que no tengo 100% clara es la diferencia entre implicación lógica y modus ponens. Parece ser una idea clave distinguir entre implicación material y lógica.
En el contexto de la lógica de primer orden, la implicación lógica (sinónimo de implicación) $\models$ ) es un concepto metalógico que se refiere a un condicional material $(\to)$ eso es una validez, es decir, eso es cierto independientemente de la interpretación. Relacionado: implicación regular $(\Rightarrow)$ versus material condicional $(\to)$ . @CharlieParker Modus Ponens (un concepto metalógico) es la forma de argumento (válida) $(A \text { and } A\Rightarrow B)\Rightarrow B.$

carl mummert · Answer 1

carl mummert

Hay un nivel en el que se pueden distinguir. Las siguientes definiciones son relativamente comunes.

La implicación material es un conector binario que se puede usar para crear nuevas oraciones; entonces $\phi \to \psi$ es una oración compuesta que usa el símbolo de implicación material $\to$ . Alternativamente, en algunos contextos, la implicación material es la función de verdad de este conectivo.
La implicación lógica es una relación entre dos oraciones. $\phi$ y $\psi$ , que dice que cualquier modelo que haga $\phi$ cierto también hace $\psi$ verdadero. Esto se puede escribir como $\phi \models \psi$ , o a veces, confusamente, como $\phi \Rightarrow \psi$ , aunque algunas personas usan $\Rightarrow$ por implicación material.

En esta distinción, la implicación material es un símbolo en el nivel del objeto, mientras que la implicación lógica es una relación en el nivel meta. En otras palabras, la implicación material es una función del valor de verdad de dos oraciones en un modelo fijo, pero la implicación lógica no trata directamente sobre los valores de verdad de las oraciones en un modelo particular, sino sobre la relación entre los valores de verdad de las oraciones. cuando se consideran todos los modelos.

Existe una estrecha relación entre las dos nociones en la lógica de primer orden. Es algo inmediato de las definiciones que si $\phi \to \psi$ se mantiene en todos los modelos entonces $\phi \models \psi$ , y por el contrario si $\phi \models \psi$ entonces $\phi \to \psi$ es cierto en todos los modelos. Esta relación se vuelve más confusa cuando comenzamos a observar otras lógicas y, en particular, puede ser bastante confusa cuando los filósofos hablan de condicionales materiales e implicación lógica independiente de cualquier sistema formal.

kjo

@AsafKaragila: no me queda claro cómo la declaración después de "en particular" se deriva del teorema. Qué es

T

$T$ en este caso en particular?

carl mummert

@Asaf: Eso complica las cosas, porque entonces tienes que hablar de demostrabilidad. Además, no todos los sistemas lógicos satisfacen el teorema de deducción. (Además, estableció lo contrario del teorema de deducción real, que dice que si

α ⊢ β

$\alpha \vdash \beta$ entonces

⊢ α \to β

$\vdash \alpha \to \beta$ ; lo contrario que dijiste es esencialmente modus ponens.) Lo pensé y decidí no hacerlo.

asaf karaguila

@Carl: Ya veo. Gracias por la corrección de todos modos.

Doug Spoonwood

¿No hay otra forma de "implicación" lógica, ya que ϕ⊨ψ significa que tenemos ψ como consecuencia semántica de ϕ, entonces ϕ implica ψ en un sentido semántico, mientras que ϕ|-ψ significa que tenemos ψ como consecuencia sintáctica de ϕ, entonces ϕ implica ψ en un sentido sintáctico? Si no, ¿por qué "ϕ|-ψ" no es también una implicación?

carl mummert

¿Qué es "una implicación" en general? Al menos por convención, no solemos usar el término "implicación" para el

⊢

$\vdash$ relación.

Doug Spoonwood

Agregaré aquí que el libro de texto Formal Logic de AN Prior tiene partes que dicen lo siguiente: "Regla: Separación (

α

$\alpha$ , D

α

$\alpha$ D

β

$\beta$

γ

$\gamma$

\to

$\rightarrow$

γ

$\gamma$ ) y (En todos los casos, la única regla además de la sustitución es el desapego electrónico:

α

$\alpha$ , mi

α

$\alpha$

β

$\beta$

\to

$\rightarrow$

β

$\beta$ . Y en mi opinión, el simbolismo de Prior es más claro aquí que escribir {E

α

$\alpha$

β

$\beta$ ,

α

$\alpha$ }

⊢

$\vdash$

β

$\beta$ , desde el "

\to

$\rightarrow$ El símbolo " sugiere que se pasa del lado izquierdo al lado derecho.

eric

@Carl Mummert Usted dijo que "la implicación material es una función del valor de verdad de dos oraciones", ¿no es "la implicación material es una función que devuelve una oración de dos oraciones"? O más correctamente, "

\to

$\rightarrow$ es una función que devuelve una oración de dos oraciones"?

carl mummert

Son ambos. Podemos hacer una nueva oración uniendo dos oraciones existentes con

\to

$\to$ . El valor de verdad de la nueva oración viene dado entonces por una función particular de los valores de verdad de las oraciones existentes. Entonces, la implicación material es tanto el símbolo que vincula las oraciones como la función utilizada para interpretar el símbolo. En realidad, la elección específica del símbolo no es tan importante como la función que se utiliza: la función es lo que nos hace llamar al símbolo "implicación material". @Eric

Maxis Jaisi

@Carl Mummert. En la práctica matemática convencional, por ejemplo, se sabe que Taniyama-Shimura "implica" el último teorema de Fermat, o

x

$x$ es real "implica"

x^{2} \geq 0

$x^2 \geq 0$ . En estos contextos, ¿"implica" se refiere a una implicación lógica?

carl mummert

@Maxis Jaisi: esa frase generalmente significa que asumir una declaración conduce a una prueba fácil de la segunda declaración, suponiendo algunos axiomas más simples. No es una implicación bastante lógica entre las declaraciones debido a esos axiomas adicionales. Pero si los axiomas necesarios se incluyen como parte de la hipótesis, entonces ese enunciado compuesto implicará lógicamente la conclusión.

Maxis Jaisi

@Carl Mummert: Gracias. Una pregunta final para llevar el punto a casa. Dejar

P

$P$ sea la conjetura de Taniyama-Shimura, y

Q

$Q$ El último teorema de Fermat. Cuando los matemáticos dicen que han "probado"

P ⟹ Q

$P \implies Q$ , significa que podemos eliminar el

P = True

$P = \text{True}$ y

Q = False

$Q = \text{False}$ fila en la tabla de verdad para

P ⟹ Q

$P \implies Q$ , ¿bien? (asumiendo que los axiomas necesarios son parte de la hipótesis)

Maxis Jaisi

en otras palabras, cuando los matemáticos prueban

P ⟹ Q

$P \implies Q$ , el significado implícito es que muestran que

P \to Q

$P \rightarrow Q$ es una tautología.

charlie parker

¿Qué quiso decir con "pero la implicación lógica no se trata directamente de los valores de verdad de las oraciones en un modelo particular, se trata de la relación entre los valores de verdad de las oraciones cuando se consideran todos los modelos"? ¿Es la única diferencia que se aplica la implicación lógica con respecto a CADA modelo e interpretación mientras que el material es solo para un modelo/interpretación?

oker

¿Puede dar algunos ejemplos de las dos implicaciones?

¿Cuál es la diferencia entre implicación material e implicación lógica?

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Maxis Jaisi

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