¿Qué significa "todo el futuro se encuentra dentro del horizonte de eventos"?

Vea mi respuesta a ¿Por qué un agujero negro es negro? para una discusión de por qué la luz no puede escapar de un agujero negro.

El futuro cono de luz es simplemente el conjunto de todos los puntos del espacio-tiempo a los que se puede llegar desde tu posición inicial, es decir, los bordes del cono son todos los puntos a los que podrías llegar viajando a la velocidad de la luz. Entonces, la afirmación de que el futuro cono de luz se encuentra dentro del horizonte de eventos es solo una reafirmación del hecho de que no hay forma de salir a través del horizonte de eventos sin viajar más rápido que la luz. Tienes razón en que esta declaración no constituye una prueba. La respuesta que he vinculado anteriormente constituye una prueba, aunque requiere un poco de matemáticas.

Una cuenta "desde cero".

Intervalos y conos de luz

Un "evento" en relatividad se define como algo con un conjunto de coordenadas en un espacio-tiempo de 4 dimensiones. Los eventos están separados por un intervalo, que en un espacio-tiempo plano, podría escribirse como

$$ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\ ,$$ donde la notación implícita que$ds^2 \equiv (ds)^2$se usa Este intervalo es fundamental en relatividad porque es un invariante en el que todos los observadores están de acuerdo.

El intervalo de un haz de luz es siempre cero. Eso significa, por ejemplo, si enviamos un haz de luz a lo largo del eje x, donde$dy=dz=0$, entonces$cdt/dx = \pm 1$. Por lo tanto, si dibujamos un gráfico de$x$contra$ct$(en el eje y) entonces la luz viajaría a lo largo de caminos con un gradiente de$\pm 45$grados desde su punto de partida. Dado que la luz es la señal más rápida que puede enviar (mucho más rápido que una paloma mensajera), estas líneas unirán todos los posibles eventos en el futuro en los que podría influir. También contienen las coordenadas de todos los posibles eventos en los que podrías estar en el futuro, sin importar qué tan rápido viajaras. Esto se conoce como el futuro cono de luz.

Un cono similar se puede extender hacia atrás en el tiempo para delimitar el conjunto de coordenadas desde las que un haz de luz (o algo más lento) podría haberte alcanzado; y esto se conoce como el cono de luz pasado.

La siguiente imagen (Figura de Exploring Black Holes de Taylor, Wheeler & Bertschinger) ilustra estas ideas. Hay un evento en A, con eventos BG trazados en el mismo diagrama. Los conos de luz del futuro y del pasado están etiquetados. Los eventos E, F y G están en el cono de luz futuro de A. Los eventos B, C y D están en el cono de luz pasado de A.

Si el intervalo$ds^2$entre dos eventos es negativa, entonces estos eventos podrían estar conectados causalmente, porque uno se encuentra en el futuro cono de luz del otro. Esto se conoce como un intervalo temporal. Si el intervalo es negativo, se llama espacial y los dos eventos no pueden estar conectados causalmente. Es decir, algo en el evento A puede influir, señalar o incluso viajar al evento E, pero no puede influir ni viajar al evento B, ni a ninguno de los eventos no etiquetados marcados con cuadrados en la región "otra parte", porque no están dentro de la región. futuro cono de luz de A.

Intervalos y Conos de Luz en Relatividad General

Estas ideas se traducen a la Relatividad General donde el espacio-tiempo se puede curvar. Eso significa que el estado del intervalo como invariante es el mismo, pero la expresión del intervalo es más complicada: los coeficientes se multiplican$dt^2$etc puede depender de$t, x, y, z$o, de hecho, otros parámetros como la masa o el giro de un objeto central.

$$ds^2 = -f_t(t, x, y, z, ...)c^2dt^2 + f_x((t, x, y, z, ...)dx^2 + ... {\rm etc.}\ .$$ Las ideas sobre conos de luz futuros y pasados ​​también son válidas en la Relatividad General. Los conos de luz también están definidos por la condición$ds^2 = 0$.

Sin embargo, la complejidad de la ecuación del intervalo significa que la pendiente de los conos de luz podría variar dependiendo de la posición del evento que los originó. A primera vista, esto parece estar diciendo que la velocidad de la luz puede diferir de$c$. Bueno, eso es cierto en el sentido de que la velocidad de la luz expresada como una tasa de cambio con respecto a las coordenadas espaciales y temporales que se utilizan sí cambia. Pero esta velocidad no es la velocidad que mediría un observador local al haz de luz. Siempre dirían que viaja a$c$.

Coordenadas

En la relatividad general, el sistema de coordenadas en el que expresas la ecuación de intervalo puede convertirse en un problema y hace que los nuevos en GR se metan en muchos problemas. En situaciones no relativistas, estamos bastante acostumbrados a cambiar entre, por ejemplo, coordenadas cartesianas y polares esféricas para describir la ubicación de un objeto. Si estuviéramos midiendo la distancia entre dos puntos en la superficie de una esfera, podríamos decir que$dl^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$, pero podríamos igualmente y quizás más útilmente usar$dl^2 = r^2\sin^2\theta\ d\theta^2 + r^2d\phi^2$. Es importante destacar que la elección de las coordenadas no afecta lo que alguien realmente mediría. Lo mismo es cierto en la Relatividad General.

Para agujeros negros que no giran, la ecuación de intervalo se puede escribir como

$$ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 \sin^2\ d\theta^2 + r^2 d\phi^2\ ,$$ los dos últimos términos son los mismos que para el espacio-tiempo plano (debido a la simetría esférica) y$M$que representa la masa del agujero negro. La razón por la que la ecuación de intervalo tiene esta forma es porque proporciona una solución válida (y de hecho única) a las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general para el espacio-tiempo fuera de una masa esféricamente simétrica e invariante en el tiempo.

El$t, r, \theta, \phi$las coordenadas aquí son similares a las coordenadas esféricas, pero no del todo. Por ejemplo, debido a la curvatura del espacio-tiempo,$r$no es el "radio" y$\Delta r$no es la separación de dos eventos al mismo tiempo$t, \theta, \phi$. Estas coordenadas no son adecuadas para tratar el movimiento a través o dentro del "horizonte de eventos", donde$r = 2GM/c^2$(también conocido como el radio de Schwarzschild,$r_s$). A este valor de$r=r_s$, puedes ver que el segundo término en la ecuación de intervalo se expande hasta el infinito. Esto tiene un significado. Significa que alguien que realiza un seguimiento de los eventos usando este sistema de coordenadas nunca vería un objeto alcanzar (o cruzar) el horizonte de eventos en cualquier tiempo finito.$t$.

Esto no significa que las cosas no puedan cruzar el horizonte de sucesos. Según un observador que cae, midiendo el tiempo en su propio reloj (que no es igual a$t$), cruzan el horizonte de sucesos y caen hacia$r=0$en un tiempo finito. Para manejar esto, podemos definir un sistema de coordenadas diferente (y hay varios para elegir), que son continuos en el horizonte de eventos. Quizás el más simple es el sistema de coordenadas Gullstrand-Painlev , donde la coordenada temporal$t$es reemplazada por una nueva coordenada$T$que se define como$t - a(r)$, dónde$a(r)$se define de modo que un incremento de$T$es exactamente lo mismo que un tictac del reloj llevado por un observador que cae libremente en el agujero negro. Esto elimina el problema de coordenadas en el horizonte de eventos y la ecuación de intervalo se escribe

$$c^2 d\tau^2 = c^2\left( 1 - \frac{r_s}{r}\right)\,dT^2 -2c\left(\frac{r_s}{r}\right)^{1/2}\,dT\,dr - dr^2 - r^2\,d\theta^2 - r^2\sin^2\theta\,d\phi^2\, .$$

Conos de luz dentro del horizonte de eventos del agujero negro

Configurando$ds^2$a cero, y por simplicidad considerando caminos radiales donde$d\theta=d\phi=0$, es fácil ver que los conos de luz están definidos por la ecuación

$$\left(\frac{dr}{dT}\right)^2 +2c\left(\frac{r_s}{r}\right)^{1/2}\,\frac{dr}{dT} - c^2\left( 1 - \frac{r_s}{r}\right) =0\ .$$ Resolviendo una ecuación cuadrática para$dr/dT$e invirtiendo el resultado, tenemos $$c\frac{dT}{dr} = -\frac{1}{\left(\frac{2GM}{c^2r}\right)^{1/2} \mp 1}\ ,$$ donde el$\mp$El signo se aplica a los haces de luz entrantes y salientes, respectivamente.

Los conos de luz correspondientes a esta ecuación se representan a continuación (Figura adaptada de Exploring Black Holes de Taylor, Wheeler & Bertschinger), donde$r_s = 2GM/c^2$, el horizonte de sucesos (donde$r=r_s$está marcado con una línea roja y los conos de luz de futuro y pasado están marcados con una F y una P y se calculan de acuerdo con la ecuación para$cdT/dr$dado anteriormente.

El punto clave en este diagrama, que responde a la pregunta planteada aquí, es que en$r=r_s$, los conos de luz están definidos por

$$\frac{dT}{dr} = -0.5\ \ \ {\rm for\ ingoing\ light}\ ,$$ $$\frac{dT}{dr} = \infty\ \ \ {\rm for\ outgoing\ light}\ .$$ Y si$r<r_s$entonces no es posible para$dT/dr$ser positivo.

Lo que esto significa es una vez en$r<r_s$, los conos de luz se inclinan hacia la disminución$r$y todos los eventos futuros dentro de los conos de luz futuros tienen valores más pequeños de$r$. Por lo tanto, no se pueden enviar señales a mayores$r$e incluso un haz de luz que se dirige hacia el exterior se moverá de hecho hacia un valor menor de$r$.