¿El espacio que se vuelve similar al tiempo dentro de un horizonte de eventos es una consecuencia de nuestro sistema de coordenadas?

Consideremos el ejemplo más simple de un agujero negro, el agujero negro de Schwarzschild, dado por la métrica:

La firma métrica es$(-,+,+,+)$(Algunos autores utilizan$(+,-,-,-)$pero no es relevante para la presente discusión). En este sentido la primera coordenada,$t$, está asociado con un componente negativo de la métrica. Tenga en cuenta, sin embargo, que esto es válido sólo para$r>r_s$. Si$r<r_s$, es decir, dentro del horizonte de eventos, el componente de la métrica asociado con$t$pasa a ser positivo, mientras que el componente asociado a$r$se vuelve negativo. En este sentido el$r$coordenada se convierte en "tiempo", mientras que la$t$la coordenada se convierte en parte del "espacio".

Sin embargo, dada la métrica anterior, se vuelve singular en$r=r_s$. Este es un problema con este sistema de coordenadas. Podemos hacer una transformación de coordenadas (para más detalles, consulte estas notas , página 182 en adelante) para llevar la métrica a la siguiente forma (las llamadas coordenadas de Kruskal):

dónde$r=r(u,v)$es lo habitual$r$, pero debe entenderse en este caso en función de$u$y$v$.

En este caso el papel del tiempo (componente negativo de la métrica) lo juega$v$, y esto es válido para ambos$r>r_s$y$r<r_s$. En este sentido, en coordenadas Kruskal, dentro de un agujero negro el tiempo sigue siendo tiempo y el espacio sigue siendo espacio.

¿Qué nos dice esto? Esencialmente, debemos tener cuidado al interpretar lo que significan las coordenadas. Por ejemplo, el tiempo$t$en las coordenadas originales de Schwarzschild debe entenderse como el tiempo experimentado por un observador infinitamente alejado del agujero negro. Sin embargo, no es el tiempo experimentado por un observador que cae en el agujero negro: ese sería el llamado tiempo propio$\tau$, definido por$dt^2 = -ds^2$. Se sabe que tardará infinito$t$para que un observador que cae radialmente en el agujero negro realmente caiga, sin embargo, solo finito$\tau$. Es decir: si caes en un agujero negro, en realidad cruzarás un horizonte de eventos (finito$\tau$) pero tu amigo lejano nunca te verá cruzar.

La conclusión es que las coordenadas "temporales" no son necesariamente el tiempo experimentado por un observador, son solo una forma de describir un espacio-tiempo. De hecho,$u$y$v$anteriores no tienen una interpretación simple en términos de tiempo experimentado por alguien.

Como se discutió en los comentarios, la separación de dos puntos, ya sean temporales o espaciales, es independiente del observador, pero esto realmente no responde la pregunta.

Una cosa que le sucede a un observador que cruza el horizonte de eventos es que una vez que lo cruza, la singularidad se encuentra en el futuro. Para el observador externo, el agujero negro (y dentro de él, la singularidad) forma un mundo-tubo similar al tiempo , pero para el observador interno, la singularidad es ahora una hipersuperficie similar al espacio (en su futuro). En este sentido se podría decir que el tiempo se convierte en espacio dentro de un agujero negro de manera independiente de las coordenadas.

Sin embargo, lo que solemos denominar espacio es una familia de un parámetro de hipersuperficies similares al espacio normales a un campo vectorial temporal (esto definiría superficies locales de simultaneidad para los observadores correspondientes al campo vectorial), cuyas curvas integrales definen el tiempo. Usualmente introduciríamos coordenadas$(t,x^i)$($i \in \{1,2,3\}$) tal que$t$es constante en las hipersuperficies, y$x^i$son constantes a lo largo de las curvas integrales. En las coordenadas canónicas de Schwarzschild, el elemento de línea toma la forma

De hecho, en el lenguaje de la geometría diferencial, las coordenadas canónicas definen un gráfico que cubre el exterior del horizonte de eventos y un gráfico separado que cubre el interior. En este lenguaje, que$r$"se vuelve" temporal en el interior significa simplemente que podemos definir coordenadas en el interior de modo que el elemento de línea dependa de la coordenada temporal de manera similar a su dependencia de la coordenada espacial$r$en la región exterior. Dado que estamos tratando con cartas separadas, que cubren regiones inconexas, se puede argumentar a partir de esto que no tiene nada que ver con que el espacio se convierta en tiempo (ya sea que dependa de las coordenadas o no), sino que es una declaración sobre las simetrías de las regiones (que el El vector Matador temporal del exterior es sustituido por uno espacial en el interior; de hecho, a estos se les puede unir una extensión suave también Matadora, y nula en el horizonte).