¿Hay algún vector Killing *global* temporal en la geometría de Schwarzschild?

He estado lidiando con el siguiente problema relacionado con la geometría de Schwarzschild recientemente. Cuando se expresa como:

d s 2 = − ( 1 − 2 GRAMO METRO r ) d t 2 + 1 1 − 2 GRAMO METRO r d r 2 + d Ω 2 2

uno puede encontrar un vector Killing ξ = ∂ t , ya que no hay componentes de la métrica que dependan de t . Este vector Killing es temporal para r > 2 GRAMO METRO , pero espacial para r < 2 GRAMO METRO (desde ξ m ξ m = − ( 1 − 2 GRAMO METRO r ) ). Mi pregunta es:

  1. ¿Podemos encontrar algún vector temporal para la región? r < 2 GRAMO METRO ?
  2. Si no, esto implicaría que la solución de Schwarzschild no es estacionaria para r < 2 GRAMO METRO . Pero generalmente se lo conoce como un "espacio-tiempo estático". Esto no sería cierto para la región. r < 2 GRAMO METRO . Entonces, ¿es esto un abuso del lenguaje?

Respuestas (3)

Solo hay cuatro vectores asesinos de Schwarzschild. Ellos son ∂ t y los tres vectores Killing rotacionales. Ninguna combinación lineal de estos es globalmente temporal dentro del horizonte, por lo que no hay un vector de muerte global temporal.

Supongo que si Schwarzschild es estático o no depende de la definición de "estático". Si lo define para que signifique que hay un vector Killing similar al tiempo global, entonces sí, Schwarzschild no es estático. Sin embargo, creo que la palabra se usa implícitamente para referirse solo a parches de espacio-tiempo. Entonces, la región fuera del horizonte podría llamarse "estática". Este es también el caso de De Sitter, donde a menudo se habla del "parche estático".

La respuesta aceptada por el usuario 1379857 dice que esto solo se define en un parche, pero eso es una tontería. ¿Qué parche sería el correcto para usar? El término "estacionario" a menudo se entiende como "asintóticamente estacionario". Algunos autores afirman la estacionariedad asintótica como su definición de "estacionario". Otros, como Carroll, usan el contexto para eliminar la ambigüedad de la definición.
Sí, creo que el uso estándar es que solo el exterior de un agujero negro de Schwartzchild es estático, no el interior.
Casi cierto. La métrica interior de Schwarzschild con parámetro de compacidad crítico α = r S / R más bajo que 8 / 9 , también es estático. Lo mismo es válido para cualquier otra solución interior pero en ese caso el crítico α es menor como 8 / 9 .

Suponer ξ es un campo de exterminio. Entonces su flujo es una isometría local, por lo que para cualquier escalar k tenemos que la derivada de k en la dirección de ξ es cero, es decir d k ( ξ ) = 0 . Tome el escalar de Kretschmann para k , esto implica que d r ( ξ ) = 0 . Por lo tanto dentro del horizonte tienes eso ξ m ξ m > 0 , porque todos los términos son positivos y el d r término es cero, por lo que no puede ser temporal.

Una coordenada de línea de tiempo cambia solo si se supone que la solución de vacío de Schwarzschild también es válida en el interior de un agujero negro. En mi opinión, no es correcto. Una solución de las ecuaciones de campo de Einstein abarca todo el espacio-tiempo. En el caso de una densidad de energía constante en alguna región del espacio-tiempo (función escalonada), la solución (métrica) puede dividirse en dos partes: una interior y otra exterior. Es admisible trabajar con uno solo de ellos, y pegarlos entre sí, pero no es admisible extenderlos sobre su dominio de validez. Por ejemplo, la solución interior de Schwarzschild permanece estática, aunque tal vez no estable, incluso por encima del parámetro crítico de compacidad. α = 8 / 9 . Este punto de vista dio lugar a la idea de Pawel O. Mazur y Emil Mottola de gravastar, https://en.wikipedia.org/wiki/Gravastar . Puede leer su artículo aquí: https://arxiv.org/abs/1501.03806 . Si lo desea, consulte también: https://physics.stackexchange.com/a/679431/281096 y https://physics.stackexchange.com/a/674311/281096 .

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