¿Qué significa que una acción sea invariante bajo x→x′x→x′x \to x', ϕ→ϕ′ϕ→ϕ′\phi \to \phi'?

Question

¿Qué significa que una acción sea invariante bajo x→x′x→x′x \to x', ϕ→ϕ′ϕ→ϕ′\phi \to \phi'?

knzhou

De repente me estoy confundiendo mucho con una pregunta básica. Supongamos que alguien le dice que la acción es invariante bajo la transformación

X \to X^{'}, ϕ (X) \to ϕ^{'} (X^{'}) .

$x \to x', \quad \phi(x) \to \phi'(x').$ Me doy cuenta de que esta notación es ambigua, pero parece ser común. Por ejemplo, uno podría definir una transformación de Lorentz de esta manera descuidada como

X \to Λ X, ϕ \to ϕ (Λ^{- 1} X)

$x \to \Lambda x, \quad \phi \to \phi(\Lambda^{-1}x)$ o una transformación de dilatación como

X \to λ X, ϕ \to λ^{α} ϕ (X / λ) .

$x \to \lambda x, \quad \phi \to \lambda^\alpha \phi(x/\lambda).$

Ahora supongamos que la acción es

S_{000}^{0} = \int_{a}^{b} d X h (ϕ (X)) .

$S_{000}^0 = \int_a^b dx \, h(\phi(x)).$ Entonces puedo pensar en quince cosas que "la acción es invariable" podría significar ingenuamente. Definir

S_{111}^{1} = \int_{F (a)}^{F (b)} d X^{'} h (ϕ^{'} (X^{'})), S_{101}^{0} = \int_{a}^{b} d X^{'} h (ϕ (X^{'})), S_{010}^{1} = \int_{F (a)}^{F (b)} d X h (ϕ^{'} (X))

$S^1_{111} = \int_{f(a)}^{f(b)} dx' \, h(\phi'(x')), \quad S^0_{101} = \int_a^b dx'\, h(\phi(x')), \quad S^1_{010} = \int_{f(a)}^{f(b)} dx \, h(\phi'(x))$ junto con otras doce cantidades en lo que es de esperar que sea una notación que se explique por sí misma. Entonces una de estas cantidades es igual a

S_{000}^{0}

$S_{000}^0$ , pero ¿a cuál se refiere normalmente?

Espaguetificación cuántica

Estoy sufriendo de una confusión similar. Aquí hay algunas fuentes que hasta ahora me han ayudado: scl.rs/papers/QFT2notes.pdf (pdf-pg74, actual-pg67) y los términos de búsqueda: "variación de forma" y "variación total".

Respuestas (2)

¿Qué significa que una acción sea invariante bajo x→x′x→x′x \to x', ϕ→ϕ′ϕ→ϕ′\phi \to \phi'?

Estoy sufriendo de una confusión similar. Aquí hay algunas fuentes que hasta ahora me han ayudado: scl.rs/papers/QFT2notes.pdf (pdf-pg74, actual-pg67) y los términos de búsqueda: "variación de forma" y "variación total".

qmecanico · Answer 1

El teorema de Noether funciona incluso para teorías no geométricas, por lo que para ser lo más general y simple posible, no utilizaremos nociones y conceptos de geometría diferencial. A los efectos del teorema de Noether, es suficiente discutir variaciones infinitesimales:
$\begin{matrix} (1) & d X^{m} := X^{' m} - X^{m} = ε X^{m} (X), \end{matrix}$ $\delta x^{\mu} ~:=~ x^{\prime\mu} - x^{\mu} ~=~ \varepsilon~ X^{\mu}(x),\tag{1}$ $\begin{matrix} (2) & d ϕ^{α} (X) := ϕ^{' α} (X^{'}) - ϕ^{α} (X) = ε Y^{α} (ϕ (X), \partial ϕ (X), X), \end{matrix}$ $\delta\phi^{\alpha}(x) ~:=~\phi^{\prime\alpha}(x^{\prime})-\phi^{\alpha}(x) ~=~ \varepsilon~ Y^{\alpha}(\phi(x),\partial\phi(x), x),\tag{2}$ donde $\varepsilon$ es un infinitesimal ( $x$ -independiente) parámetro, y $X^{\mu}$ y $Y^{\alpha}$ son generadores.
Si $V~\subseteq~\mathbb{R}^4$ es una región del espacio-tiempo, sea
$\begin{matrix} (3) & V^{'} := {X^{'} \in R^{4} ∣ X \in V} \subseteq R^{4} \end{matrix}$ $V^{\prime}~:=~\{ x^{\prime}\in \mathbb{R}^4 \mid x \in V \} ~\subseteq~\mathbb{R}^4 \tag{3}$ denotan la variada región del espacio-tiempo.
La variación infinitesimal de la acción es por definición
$\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} d S_{V} := & S_{V^{'}} [ϕ^{'}] - S_{V} [ϕ] \\ := & \int_{V^{'}} d^{4} X^{'} L (ϕ^{'} (X^{'}), \partial^{'} ϕ^{'} (X^{'}), X^{'}) \\ - \int_{V} d^{4} X L (ϕ (X), \partial ϕ (X), X) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\delta S_V~:=~& S_{V^{\prime}}[\phi^{\prime}] -S_V[\phi]\cr ~:=~& \int_{V^{\prime}}\! d^4x^{\prime}~{\cal L}(\phi^{\prime}(x^{\prime}),\partial^{\prime}\phi^{\prime}(x^{\prime}),x^{\prime}) \cr &-\int_V\! d^4x~{\cal L}(\phi(x),\partial\phi(x),x).\end{align}\tag{4}$ La fórmula (4) es $S^1_{111}-S^0_{000}$ en notación OP. Véase, por ejemplo, Refs. 1 y 2
La variación infinitesimal (1) y (2) se denomina cuasi-simetría de la acción si la variación infinitesimal (4) es una integral de frontera, cf. mi respuesta Phys.SE aquí . En caso afirmativo, el teorema de Noether conduce a una ley de conservación en el caparazón.

Referencias:

H. Goldstein, Classical Mechanics, 2ª edición, Sección 12.7.
H. Goldstein, Classical Mechanics, 3.ª edición, Secciones 13.7.

¡Gracias por la respuesta! ¿Hay alguna posibilidad de que pueda señalarme un recurso que cubra el teorema de Noether cuando las tres cosas ( $V$ , $x$ , $\phi$ ) ¿cambio?

Última · Answer 2

Estoy asumiendo que $S[\phi(x)]$ es alguna acción funcional para una teoría de campo de $\phi$ . Es importante señalar que las simetrías actúan solo sobre campos, no sobre coordenadas. Debe pensar en las coordenadas como variables ficticias, con una transformación de coordenadas equivalente a un reetiquetado. Con este hecho en mente, si bajo una transformación de campo $\delta$

d : ϕ (X) \mapsto ϕ^{'} (X)

$\delta: \phi(x) \mapsto \phi'(x)$ la acción satisface

S [ϕ^{'} (X)] = S [ϕ (X)],

$S[\phi'(x)] = S[\phi(x)],$ Nosotros decimos eso

δ

$\delta$ es una simetría de la teoría.

Ahora, dicho esto, a veces es útil pensar en la transformación como una transformación de coordenadas que luego induce una transformación en los campos. En esta imagen, la transformación de coordenadas $\delta'$ , con

d^{'} : X \mapsto X^{'}

$\delta': x \mapsto x'$ induce naturalmente una transformación en el campo por

ϕ^{'} (X^{'}) = ϕ (X) .

$\phi'(x') = \phi(x).$ Por supuesto, debido a esta afirmación, siempre es cierto que

S [ϕ^{'} (X^{'})] = S [ϕ (X)] .

$S[\phi'(x')] = S[\phi(x)].$ Nótese la diferencia entre la afirmación anterior sobre la acción. El primero se sigue de una simetría de la teoría, mientras que el segundo es siempre cierto. Intuitivamente, esto significa que uno puede deshacer una transformación de campo a través de un reetiquetado (transformación de coordenadas).

Solo para estar seguro, ¿estás abogando por $S^0_{000} = S^0_{010}$ siendo el significado pretendido, mientras que $S^0_{000} = S^1_{111}$ es siempre trivialmente cierto?

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