¿Qué significa la siguiente fórmula divergente?

Me he encontrado con la siguiente fórmula un par de veces (en diferentes contextos físicos de los que no tengo una buena comprensión)

∫ 0 ∞ d t t mi − t X = − registro ⁡ X

Formalmente, uno puede "derivar" esta fórmula al notar que

registro ⁡ X = ∫ d X X = ∫ d X ∫ 0 ∞ d t mi − X t = − ∫ 0 ∞ d t t mi − X t
Sin embargo, si uno hace esto con cuidado, creo que debería obtener algo como
∫ 0 ∞ d t t ( mi − t X − mi − t ) = − registro ⁡ X
que es convergente, ¡pero no es así como nunca se dice! Para dar un ejemplo, consulte la página 5 antes de la ecuación 1.11 del siguiente documento http://arxiv.org/pdf/0804.1773v1.pdf (simplemente sustituya la ecuación anterior para obtener la fórmula anterior). ¿Cómo se debe usar e interpretar esta ecuación? ¿Hay algún esquema de regularización oculto que sea obvio para todos menos para mí?

es eso yo o gramo X o mejor yo norte X ?
Este es uno de esos casos en los que los físicos felizmente intercambian límites cuando en realidad no se puede hacer. Sin embargo, sin entender el contexto (y no lo entiendo), no puedo decir cuál es la justificación.

Respuestas (1)

Supongo que casi siempre en física X representa una cantidad dimensional, entonces el logaritmo no puede definirse bien a menos que sea una razón adimensional, es decir, log ( X / X 0 ) . En cuyo caso puede aplicar la fórmula dada que se vuelve perfectamente convergente

− registro  ( X X o ) = ∫ 0 ∞ d t t ( mi − t X − mi − t X o )

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