¿Qué significa la ley de Gauss?
Esta respuesta dice:
La divergencia no necesita una dirección porque es la salida promedio de bananas en todas las direcciones alrededor de un punto. . Dibujas una curva cerrada alrededor , sume el número total de bananas que pasan por la curva (positivo para las bananas salientes, negativo para las entrantes) y luego divida por el área encerrada por la curva . Y luego la divergencia es lo que le sucede a esa cantidad cuando la curva es muy pequeña, encerrando y no mucho mas
Esto significa que debo tomar una carga puntual positiva en y luego dibuja una curva cerrada alrededor , sume el número total de campo eléctrico que pasa a través de la curva y luego divida por el área encerrada por la curva. Esto debería darme la divergencia del campo eléctrico en el punto
Nuevamente, la divergencia es el flujo de salida promedio del campo eléctrico en todas las direcciones alrededor de un punto. .
No puedo conectar estas dos definiciones o realmente entender lo que realmente nos dice esta ecuación.
Una respuesta simple sin matemáticas complicadas (tal vez usando analogía) sería muy apreciada.
Ley de Gauss
Más rigurosamente, la divergencia se puede escribir como
Por lo tanto, básicamente está contando el número de líneas de campo que pasan por el volumen. (que está encerrado por una superficie ). La superficie puede ser tan simple como una esfera, pero cualquier superficie cerrada incluso tan irregular como una patata también está bien.
Por lo tanto, si tienes más carga positiva, entonces, según las notas que aprendiste en la escuela secundaria, las líneas de campo eléctrico estará más densamente empacado, por lo que habrá más líneas de campo saliendo de la región . Del mismo modo, si tiene más cargas negativas, habrá más líneas de campo en la región.
Ahora tomamos este volumen infinitesimalmente pequeño, por lo que esto significará en la vecindad de las cargas, en promedio, cuántas líneas de campo entran/salen de la densidad de carga. El volumen es infinitesimal y también garantiza que cualquier línea de campo que básicamente entre y salga en todas las direcciones en el espacio desde la densidad de carga pasará a través de la superficie cerrada y, por lo tanto, se contará para el número promedio de líneas de campo (ya que en una densidad de carga, las líneas de campo se irradian hacia fuera/hacia dentro en todas las direcciones)
Una simple analogía que ilustra las matemáticas casi con precisión.
Considere la RHS de la ecuación como una fuente. Si la fuente es fuerte, entonces en su vecindad habrá mucha agua fluyendo en todas direcciones. Asimismo, si la fuente es débil, no saldrá mucha agua. Ahora, si consideramos un drenaje seco, entonces cuanto más fuerte sea la succión del drenaje, en su vecindad , más agua se precipitará hacia él, del mismo modo, si el drenaje es débil, la cantidad de agua que pasa es poca.
Por lo tanto, la cantidad de agua que entra/sale en la vecindad del desagüe/fuente es la LHS, mientras que su fuerza es la RHS.
Primero, en el espacio 3-D tienes que considerar una superficie cerrada que contiene cargas en el interior. Luego suma todos los elementos de flujo eléctrico 𝜀0·En·dA normales a cada pequeño elemento de superficie d A en esta superficie cerrada para obtener el flujo total. Luego suma todos los elementos de carga pequeña dQ=𝜌dV en el volumen encerrado por esta superficie para obtener la carga total Q. Luego, la ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total que atraviesa la superficie es igual a la carga total Q encerrada por este volumen. El teorema matemático de la divergencia iguala el flujo total de un campo vectorial (aquí E ) sobre una superficie cerrada a su integral de volumen de la divergencia div E. Cuando consideras que la superficie cerrada se contrae hasta un punto, se obtiene la ecuación de Maxwell div (𝜀0·E) = 𝜌. El significado de la ley de Gauss es que puedes visualizar el campo eléctrico como un flujo de un líquido incompresible. El flujo total de este líquido que sale de la superficie cerrada debe sumar cero cuando no existen fuentes o sumideros (fuentes negativas) del flujo en el volumen o ser la suma de todas las fuentes menos los flujos de sumidero en este volumen. Por lo tanto, las cargas pueden considerarse como fuentes o sumideros de este flujo eléctrico. La ecuación div (𝜀0· E ) = 𝜌 expresa esto para un elemento infinitesimal de pequeño volumen, cuando lo multiplicas por dV. El flujo que sale de un volumen infinitesimal pequeño tiene que ser igual a la intensidad de la fuente (positiva o negativa), que es la carga en el volumen infinitesimal 𝜌·dV.
lelouch