¿Por qué la ley de Gauss se aplica a cualquier forma de una superficie cerrada?

Lo que parece preocuparme increíblemente es por qué la ley de Gauss se aplica a cualquier forma de superficie cerrada. Además, el hecho de que el flujo eléctrico sea proporcional a la carga encerrada se demuestra simplemente mediante el uso de una partícula puntual encerrada en una esfera. Por lo tanto, el flujo eléctrico es proporcional a la carga encerrada para cualquier superficie cerrada, lo que para mí no es obvio simplemente usando una prueba específica que incluye simplemente una esfera.
Además, vi varios videos en YouTube, incluida una conferencia impartida por Walter Lewin, y visité numerosos sitios web; sin embargo, todas las fuentes no resolvieron mi confusión. Por último, ¿por qué la ley de Gauss también funciona para cualquier colección de cargas distribuidas al azar? Muchas fuentes afirman que cualquier colección de cargas puede considerarse como una colección de cargas puntuales separadas y, dado que los campos eléctricos de las cargas puntuales deben sumarse vectorialmente, también pueden considerarse una carga total que genera un campo eléctrico neto. ¿Esto implica que la integral de superficie cerrada, utilizada en la ley de Gauss, se puede dividir en integrales de superficie cerradas separadas? Al igual que:

∫ ∑   mi → ∙ d A → = ∫   mi → 1 ∙ d A → + ∫   mi → 2 ∙ d A → + … + ∫   mi → i ∙ d A →
Donde cada integral de línea separada incluye el campo eléctrico de una sola carga puntual.

Ahora mi conjunto de herramientas matemáticas es relativamente limitado, por lo tanto, no utilice ecuaciones matemáticas complicadas que se originen a partir de divergencias, ecuaciones diferenciales, etc.

Gracias de antemano.

No me queda claro cómo se puede "demostrar" una ley como la ley de Gauss. ¿Por dónde quieres empezar? Es bastante simple demostrar que la ley de Gauss se cumple para cualquier configuración de cargas si crees en la ley de Coulomb y el principio de superposición. Entonces, ¿por dónde le gustaría que comenzara tal prueba? Además, recuerda que si bien la ley siempre se cumple , no siempre es útil calcular el campo: eso solo sucede cuando la configuración de carga tiene algunas simetrías especiales.

Respuestas (2)

Si está convencido del argumento de la esfera, entonces considere para cualquier superficie irregular una superficie esférica dentro de ella que contenga completamente su carga. Luego, dentro de un "sector" de cierto ángulo sólido, las líneas de campo que pasan por la intersección de este "sector" y su superficie irregular son exactamente las que pasan por la proyección de la superficie irregular sobre la esfera, por lo que el número total debe ser exactamente igual.

Si desea una solución más cuantitativa (léase: rigurosa), tendré que dirigirlo al teorema de la divergencia, simplemente no hay forma de evitarlo. Para ser franco, si no quiere aprender cálculo vectorial, probablemente tendrá que aceptar algunos resultados por lo que son.

Además, sí, la integral de superficie cerrada de la suma se puede expresar como la suma de las integrales.

Las integrales no son “integrales de línea”; son una expresión de flujo (campo x área). Si divide el volumen encerrado en muchos ángulos sólidos muy pequeños, el producto punto significa que puede usar el componente del área en el extremo exterior del ángulo sólido (representado por un vector que apunta hacia afuera) que es paralelo al campo (y el radio). Esa área aumenta con el cuadrado del radio y el campo disminuye con el cuadrado del radio. Eso significa que el flujo depende solo de la carga y del tamaño del ángulo sólido; y no el radio o la inclinación de la superficie real. La integral consiste en sumar los ángulos sólidos (el área de una esfera de cualquier radio dividida por el radio).

Gracias, mayormente claro, pero ¿cómo es posible que un área pequeña de dA tenga forma de esfera y no solo una superficie plana? ¿Por qué podemos suponer que dA adopta la forma de la superficie de una esfera? Además, ¿podría estar relacionado con el hecho de que la fuerza eléctrica es una fuerza conservativa, similar a la gravedad? Entonces, independientemente de la inclinación de dA de una forma dada, si integra sobre toda la superficie solo los componentes paralelos de dA constituyen el flujo total, ¿que es lo mismo que simplemente usar una esfera como forma? ¿Quizás no como algo conceptual y matemático, sino más bien como un compromiso?
Para un dA muy pequeño, hay muy poca diferencia entre una superficie plana o curva. Una vez que te sientas cómodo diciendo que el flujo es proporcional al ángulo sólido, entonces el problema es cómo sumar todos los ángulos sólidos. Esto se puede hacer con una esfera de cualquier tamaño.
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