¿Cómo funciona la Ley de Gauss con esta configuración de densidad de carga?

Mi amigo y yo estudiamos electrodinámica por nuestra cuenta. En Griffiths, Introducción a la electrodinámica (1999) , se introduce matemáticamente el concepto de divergencia y se dibuja el siguiente campo vectorial.

vector-campo-con-gran-positiva-divergencia

Griffiths afirma que este campo vectorial tiene "una gran divergencia positiva".

Al tratar de imaginar qué escenarios físicos podrían dar lugar a este campo vectorial, imaginamos una capa delgada de carga negativa muy fuerte que rodea el punto central. Pensamos que esto crearía una fuerza de atracción que se vuelve más fuerte a medida que avanzas hacia ella, tal como se muestra en el diagrama.

Pero estamos preocupados, porque más tarde se introduce la ley de Gauss:

∇ ⋅ mi = ρ ϵ 0

Nuestras preguntas :

  • (Menos importante) ¿Qué quiere decir Griffiths con "el campo vectorial tiene una gran divergencia positiva"? ¿Seguramente la divergencia solo tiene un valor en un punto determinado? Supongo que quiere decir que es positivo en todos los puntos, pero quería mencionar esa suposición específicamente.
  • (Más importante aún) ¿Cómo es compatible nuestro escenario de "caparazón delgado" con la ley de Gauss? La ley de Gauss parece establecer que si no hay densidad de carga en un punto, la divergencia en ese punto debe ser cero. Pero en nuestro caso, no hay densidad de carga en ninguna parte excepto en los bordes. Entonces, ¿cómo es que este campo tiene una gran divergencia positiva?
¿Griffiths afirma que tiene que ser un campo vectorial físico resultante de una densidad de carga estática? ¿O es solo para dar un ejemplo de un campo vectorial con divergencia? No todo campo vectorial corresponde a un campo eléctrico que es el resultado de una densidad de carga estática.
@AaronStevens No afirma que este sea un campo de vector físico resultante de la densidad de carga estática. Pero supongamos que tuviéramos la configuración descrita: ¿no crearía este campo y qué significaría eso para la ley de Gauss?

Respuestas (2)

Ya que no sabemos qué es el campo en realidad, inventemos uno. Digamos que el campo es radialmente simétrico (solo depende de r , la distancia desde el centro), y digamos que crece linealmente con r (Parece que esto es lo que está sucediendo aquí. Los vectores exteriores están aproximadamente tres veces más lejos del centro que los vectores internos, y parecen tener unas tres veces más largos).

Entonces

mi → = mi 0 r r ^

Y entonces

∇ ⋅ mi → = 1 r 2 ∂ ( r 2 mi r ) ∂ r = 3 mi 0 = ρ ϵ 0

Por lo tanto

ρ = 3 ϵ 0 mi 0

Entonces, una densidad de carga constante en el espacio podría producir este campo eléctrico, y la divergencia del campo es constante en todo el espacio.

Observe cómo no tuvimos que imaginar una densidad de carga una vez que tuvimos el campo. La ley de Gauss nos dice cuál es la densidad de carga.

de un comentario

¿Nuestra configuración (sin carga en ninguna parte excepto alrededor de los bordes) produciría este campo también, y si es así, cómo cuadra eso con la ley de Gauss?

El campo dentro de una capa de carga es 0 . Esto se ve fácilmente usando la forma integral de la ley de Gauss. El proceso se puede encontrar en muchos libros de texto de introducción a la física.

¡Gracias Aarón! Pero todavía estoy confundido: nuestra configuración (sin carga en ninguna parte excepto alrededor de los bordes) produciría este campo también, y si es así, ¿cómo cuadra eso con la ley de Gauss?
@EliRose mira mi edición.

No pude entender mucho sobre el tema de la divergencia, pero pude entender algo sobre la Ley de Gauss.

Esto es lo que aprendí, la Ley de Gauss en electrostática nos dice el número de líneas de campo (eléctricas, por supuesto) que pasan a través de una superficie dada, cualitativamente.

La ecuación matemática nos dice realmente la carga responsable de tales efectos.

∮ mi → ⋅ d S →

Donde dS es el vector de área pequeña desde donde pasa el campo eléctrico.

Ahora recuerde la Ley de la fuerza eléctrica de Coulomb, de la cual derivamos el campo eléctrico a una distancia r debido a una carga puntual como

mi = q 4 π ϵ o r 2

Ahora, para imaginar las líneas de campo debido a la carga positiva, suponiendo que E y r están en la misma dirección y suponiendo que dS es independiente de r (¿vago?)

∫ mi ⋅ d S = q ϵ o ∫ q 4 π ε o r 2 . d S = q ϵ o ∫ d S = 4 π r 2

¿¿Recuerda esto?? Lo que significa que obtienes un mismo patrón de campo eléctrico que tiene un patrón de campo esférico.

Entonces, todas las líneas de campo se mueven radialmente hacia afuera para una carga puntual positiva.

Pero en el diagrama, el campo se vuelve más fuerte a medida que se aleja del centro.
@AaronStevens La intensidad del campo se describe por el hecho de que las líneas de campo totales pasan por un área, por lo que si arrastra esta área (constante durante todo el proceso) desde muy cerca de la carga hasta alejarse, está claro que las líneas de campo pasan por el el área está disminuyendo. Por cierto, ¿cómo corrigiste mi LATEX?
Eliminé sus sangrías, que se supone que son para cuando desea mostrar el código. Y veo lo que dices sobre la densidad de la línea de campo, pero estas no son líneas de campo, muestran los vectores reales.
¡Ay! Eso es lo que significa, no te preocupes, pronto eliminaré mi respuesta, si así lo crees.
¿Cómo funciona la Ley de Gauss con esta configuración de densidad de carga?
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