Explicación Matemática

La ley de la divergencia de Gauss establece que

$$\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$

Entonces, integremos esto en un volumen cerrado.$V$cuya superficie es$S$, se vuelve

$$\iiint\limits_{V(S)}\nabla \cdot \mathbf{E}\,\textrm{d}V = \frac{Q}{\epsilon_0}$$

dónde$Q$es la carga total en$V$. Sin embargo, el teorema de Green-Ostrogradski establece que

$$\iiint\limits_{V(S)} \nabla \cdot \mathbf{F}\,\textrm{d}V = \iint\limits_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{\textrm{d}S}$$

para cualquier campo$\mathbf{F}$, así que en particular

$$\iiint\limits_{V(S)} \nabla\cdot\mathbf{E}\,\textrm{d}V = \iint\limits_{S}\mathbf{E}\cdot\mathbf{\textrm{d}S} = \Phi_S(\mathbf{E})$$

dónde$\Phi_S(\mathbf{E})$es el flujo de$\mathbf{E}$a través de$S$. Finalmente, obtuvimos

$$\Phi_S(\mathbf{E}) = \frac{Q}{\epsilon_0}$$

que es el teorema de Gauss.

Explicación intuitiva

La explicación anterior demuestra el vínculo entre la ley de divergencia de Gauss y su teorema, pero no entendemos realmente por qué funciona. Sin embargo, una vez que haya entendido qué es la divergencia de un campo, parecerá fácil de entender.

Partamos de una posible definición de la divergencia de un campo$\mathbf{F}$:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \lim\limits_{\delta\tau\rightarrow 0} \frac{\iint\limits_{\delta S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{\mathrm{d}S}}{\delta \tau}$$

dónde$\delta \tau$es el volumen delimitado por$\delta S$. Bueno... esta definición no es realmente simple. Reescribámoslo como lo haría un físico:

$$\nabla \cdot \mathbf{F}\, \delta \tau = \Phi_{\delta S}(\mathbf{F})$$

dónde$\delta \tau$es lo suficientemente pequeño ... Así que aquí, podemos ver que la divergencia de$\mathbf{F}$es cuanto de$\mathbf{F}$sale de un pequeño volumen por unidad de tiempo. Entonces, si integramos esto sobre un volumen grande, obtendremos lo que sale de este volumen grande por unidad de tiempo (ya que cuando cortamos este volumen grande en muchos volúmenes pequeños, todo lo que sale de un volumen pequeño va en uno de sus vecinos, salvo los volúmenes extremadamente pequeños). Pero lo que sale de este gran volumen es$\Phi_S(\mathbf{F})$, entonces podemos decir que

$$\Phi_S(\mathbf{F}) = \sum\limits_{\delta \tau \in V} \Phi_{\delta S}(\mathbf{F}) = \sum\limits_{\delta\tau \in V} \nabla\cdot\mathbf{F}\,\delta \tau = \iiint\limits_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,\mathbf{\textrm{d}V}$$

Hacia una posible comprensión de la ley de Gauss

Todo el mundo empieza electrostática con la ley de Coulomb, es decir dos cargas$q_A$y$q_B$con una distancia$r$entre ellos sufren una fuerza

$$F_e = \frac{q_A q_B}{4\pi \epsilon_0 r^2}$$

Ahora, consideremos un cargo$q$en$O$. crea un campo

$$\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 \| \mathbf{OM} \|^3} \mathbf{OM}$$

Considere una pequeña superficie$\textrm{d}^2 S = r^2\textrm{d}\theta\textrm{d}\phi$en$M$, dónde$\|OM\| = r$. el flujo de$\mathbf{E}$a través de$\textrm{d}^2 S$es$\textrm{d}^2\Phi = \mathbf{E}\cdot\textrm{d}^2\mathbf{S}$dónde$\textrm{d}^2\mathbf{S} = \frac{\textrm{d}^2S}{r}\mathbf{OM}$. Esto finalmente da

$$\textrm{d}^2\Phi = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^3}\mathbf{OM}\cdot\frac{r^2\textrm{d}\theta\textrm{d}\phi}{r}\mathbf{OM} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\textrm{d}\theta\textrm{d}\phi$$

Ahora, consideremos una superficie cerrada$S$. Si$O$está en esta superficie, entonces

$$\Phi = \iint\limits_S \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\textrm{d}\theta\textrm{d}\phi = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \int\limits_{\theta = 0}^{2\pi}\int\limits_{\phi = 0}^{\pi} \textrm{d}\theta\textrm{d}\phi = \frac{q}{\epsilon_0}$$

Ahora, enfóquense en el caso donde$O$Está afuera$S$. Dejar$S_{+}$(resp.$S_{-}$) ser parte de$S$dónde$\textrm{d}^2\Phi \geq 0$(resp.$\textrm{d}^2\Phi < 0$), entonces

$$\iint\limits_{S} \textrm{d}^2\Phi = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}(\iint\limits_{S_{+}}\textrm{d}\theta\textrm{d}\phi - \iint\limits_{S_{-}}\textrm{d}\theta\textrm{d}\phi)$$

Sin embargo, desde$S$es una superficie cerrada, un dibujo puede convencerte de que la suma anterior es nula (el ángulo sólido de$S_{-}$es el mismo que el de$S_{+}$...). Entonces cuando$O$está fuera de$S$,$\Phi$= 0.

Dado que el campo electrostático es lineal, podemos generalizar esta idea con la siguiente ecuación:

$$\Phi_S(\mathbf{E}) = \frac{Q}{\epsilon_0}$$

dónde$Q$es la carga neta dentro$S$.