Necesito una explicación (muy) intuitiva del teorema fundamental del cálculo.

Soy consciente de que esta pregunta se ha hecho antes, pero creo que tengo una pregunta específica única. He leído y creo entender la prueba de:

∫ a b   F ′ ( X ) d X = F ( b ) − F ( a ) .

littleO da una muy buena explicación y demostración en ¿ Por qué funciona el teorema fundamental del cálculo? Estoy seguro de que hay otras buenas pruebas. Señala que "el cambio total es la suma de todos los pequeños cambios".
Entiendo. Quiero retroceder un poco y preguntar, ¿por qué demonios esperarías que saber algo sobre los puntos finales (las antiderivadas en a y b) te dijera todo lo que necesitas saber sobre una propiedad de todo ( el área bajo la curva). No importa si la función es F ( X ) = 1 ; F ( X ) = 2 X o F ( X ) = 100 ∗ X 99 . El área bajo la curva será la misma de 0 a 1, y podemos calcularlo solo con el conocimiento de los puntos finales. ¿Qué es la intuición?

Dicho de otra manera, yo (creo) que entiendo la prueba, pero me pregunto por qué uno debería esperar que el conocimiento de los puntos finales nos diga todo lo que necesitamos saber sobre una propiedad que tiene que ver con todo el intervalo (el área bajo La curva). Espero que la perspicacia me prepare para las ideas en física sobre la superficie de una pelota que nos dice lo que necesitamos saber sobre cada punto dentro de la pelota. Gracias

En mi opinión, uno no lo haría. Es por eso que la FTC es un resultado tan alucinante (en mi humilde opinión): nos dice que dos preguntas muy diferentes (¿cuál es la pendiente de la tangente a la gráfica en un punto dado? ¿Cuál es el área bajo la gráfica de la función?) en realidad están íntimamente conectados y son, en cierto sentido, "inversos" entre sí. Para mí, es un resultado sorprendente, no intuitivo.
Piense en ello como una ecuación de continuidad/flujo: Piense en ello en términos de secuencias. supongamos que tienes una secuencia F 1 , . . . y las diferencias d 1 = F 2 − F 1 , . . . entonces tiene F norte − F 1 = d norte − 1 + d norte − 2 + . . . + d 1 . Piensa en la derivada como la diferencia.
Echa un vistazo a este vídeo de Pavel Grinfeld . Me gusta mucho esa explicación.
Tal vez ayude a ver el teorema fundamental "desde la perspectiva" de una antiderivada F en lugar de desde el punto de vista de F = F ′ : Estamos diciendo que el cambio neto en F encima [ a , b ] es igual a la "suma" (integral) de los incrementos infinitesimales F ( X ) d X = F ′ ( X ) d X como X corre de a a b . Si me perdonan una pregunta retórica, ¿por qué uno no creería que eso sucediera independientemente de F (quizás bajo hipótesis técnicas leves, como F ′ existe y es continuo)? :)
"¿Por qué demonios esperarías que saber algo sobre los puntos finales [...] te dijera todo lo que necesitas saber sobre una propiedad de todo"... Ese aspecto de FTC es una de esas cosas inesperadas que hacen matemáticas fascinante. Un día, aprenderá que el teorema de Green muestra cómo las "integrales de trayectoria" dicen algo sobre lo que sucede en el interior de una región al estudiar lo que sucede en su límite ; igualmente para "integrales de superficie" y más allá. FTC es solo el comienzo de todo un asunto de información de límites, codificación de información interior .
@AndrewD.Hwang Gracias por tu comentario. De hecho, puedo ver que "el cambio neto en F sobre [a,b] es igual a la "suma" de los incrementos infinitesimales...". Sin embargo, lo sorprendente es que en realidad no tengo que agregar cada uno de estos incrementos, sino que solo uso la información de los dos puntos finales. Entonces, para responder a su pregunta retórica, sí, estoy de acuerdo en que está claro que puede sumar TODOS los pequeños cambios. La parte que tengo problemas para entender es por qué puedo omitir todo eso y usar solo los dos puntos finales :) ¡Gracias de nuevo!

Respuestas (2)

Una forma de pensarlo es:

I = ∫ a b F ′ ( X ) d X = ∫ a b d F d X d X
ahora deja tu = F ⇒ d tu d X = d F d X ⇒ d X = d tu d X d F ahora cambia los limites y sub en:
I = ∫ F ( a ) F ( b ) d F d X d X d F d tu = ∫ F ( a ) F ( b ) d tu = tu | F ( a ) F ( b ) = F ( b ) − F ( a )

EDITAR

En términos de por qué la antiderivada nos diría el área de todo, podría tener algún sentido pensar en la antiderivada como el área desde cero hasta un punto dado, en otras palabras:

∫ 0 X F ( X ) d X = F ( X ) − F ( 0 )
y ahora de un punto a otro solo seria:
∫ a b F ( X ) d X = ∫ 0 b F ( X ) d X − ∫ 0 a F ( X ) d X = [ F ( b ) − F ( 0 ) ] − [ F ( a ) − F ( 0 ) ] = F ( b ) − F ( a )
También podemos pensarlo de la manera opuesta, F ′ ( X ) = F ( X ) , o la función es solo la derivada de su antiderivada, lo que significa que la función nos da la tasa de cambio de su área y cuando la integramos (la sumamos en un intervalo continuo) obtenemos el cambio total de área

Supongamos que tiene un montón de números y 1 , y 2 , … , y norte , y desea sumarlas todas, pero no sabe cómo. Te digo que hagas lo siguiente. Comience con algún número arbitrario s 0 , Luego añade y 1 , y 2 , … uno por uno:

s 1 = s 0 + y 1 , s 2 = s 1 + y 2 , ⋮ s norte = s norte − 1 + y norte .
Entonces, afirmo, la suma que quieres es simplemente s norte − s 0 .

Ahora medite sobre sus preguntas originales:

Quiero retroceder un poco y preguntar, ¿por qué demonios esperarías saber algo sobre los puntos finales ([los valores s 0 y s norte ]), le diría todo lo que necesita saber sobre una propiedad de todo ([la suma de todos los números]). No importa si los [números son y i = 1 ; y i = 2 i o y i = 100 i 99 ]. La [suma] será la misma de [ 1 a norte ], y podemos averiguarlo solo a partir del conocimiento de los puntos finales. ¿Qué es la intuición?

Gracias por la respuesta Rahul, y medié en mi pregunta original :). Creo que estás tratando de decir que s(n) ya es la suma de todos los números anteriores. Al igual que la antiderivada (la integral) en b es la suma de todas las pequeñas áreas anteriores. Sin embargo, esto no explica el hecho extraordinario de que la antiderivada parece (al menos para mí) ser algo completamente diferente también. Es la función cuya derivada en b es f(b). Quizás estoy tratando de preguntar "¿Por qué una función cuya derivada es f en b, también es el área total bajo la curva?". ¡Gracias!
Necesito una explicación (muy) intuitiva del teorema fundamental del cálculo.
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