Comprender el teorema fundamental del cálculo en lenguaje sencillo

El Teorema fundamental del cálculo (hay dos partes, pero parece que te estás enfocando en la segunda parte) esencialmente dice que podemos calcular una integral usando antiderivadas (como dice JW Tanner en los comentarios). Aquí está el texto exacto del artículo de Wikipedia:

Las integrales discutidas en este artículo son las denominadas integrales definidas. Es el teorema fundamental del cálculo que conecta la diferenciación con la integral definida: si$f$es una función continua de valor real definida en un intervalo cerrado$[a, b]$, entonces, una vez que una antiderivada$F$de$f$se conoce, la integral definida de$f$sobre ese intervalo está dado por

$$\int_a^b f(x) \text{ d}x = F(b)-F(a)$$

Una integral definida es la clásica "integral del área bajo la curva". Cuando el cálculo comenzó a ser (¿descubierto/inventado?), las integrales definida e indefinida se consideraban como completamente separadas. La integral indefinida encuentra la antiderivada de una función Esencialmente, esto invierte la diferenciación. Mientras que la derivada de$f(x)=x^2$es$f'(x)=2x$, la antiderivada de$f'(x)=2x$es$f(x)=x^2$. Esto se representa simbólicamente como$\int2x \text{ d}x = x^2$.

Sin embargo, una integral definida proviene de la Suma de Riemann. Le permite calcular el área bajo una curva, esencialmente. Se define sobre un intervalo cerrado , que se representa por$a$y$b$en la integral anterior. Ahora bien, lo que nos muestra el Teorema Fundamental del Cálculo (FTC) es un método para calcular una integral definida. Aunque Wikipedia dice que la FTC conecta integración y diferenciación (lo cual hace), la idea más importante es la conexión entre integración indefinida y definida . Hagamos un ejemplo para demostrar esto.

Calcular el área bajo la curva $f(x)=2x$ durante el intervalo [1,2]

Ahora lo primero que tenemos que hacer es representar este problema simbólicamente,

$$\int_1^2 2x \text{ d}x$$

Aquí es donde entra en juego la FTC. La integral anterior es una integral definida, pero necesitamos conocer la antiderivada de$2x$(recuerde, la antiderivada es lo opuesto a una derivada. La antiderivada de$2x$es la función cuya derivada es$2x$)

Podemos representar simbólicamente la antiderivada,

$$\int 2x \text{ d}x$$

Observe la falta de límites en la integral anterior. Esto se debe a que es una integral indefinida. Podemos resolver usando la regla de la potencia

$$\int 2x \text{ d}x = x^2$$

Ahora, podemos comprobar esto diferenciando$x^2$usando la regla de la potencia (para derivadas). Recuerda, la antiderivada de$2x$es la función cuya derivada es$2x$, entonces la derivada de$x^2$debiera ser$2x$. Encontrarás que la derivada de$x^2$es de hecho,$2x$. De este modo,$F(x) = x^2$

Ahora podemos aplicar la FTC

$$\int_1^2 2x \text{ d}x = F(2) - F(1)$$ $$\int_1^2 2x \text{ d}x = 2^2 - 1^2$$ $$\int_1^2 2x \text{ d}x = 4 - 1$$ $$\int_1^2 2x \text{ d}x = 3$$

En el nivel más básico , desde un punto de vista puramente conceptual , y omitiendo todas las condiciones requeridas.

Sea el área bajo la curva de una función$f$estar limitado por el punto fijo$(a,0)$y el punto de movimiento$(x,0)$,

$FTC$:

la tasa (instantánea) de crecimiento de esta área no es otra cosa que$f(x)$( El valor de$f$en$x$).

Dado que la función de área$A$es la integral indefinida de$f$(es decir,$A(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt$) y dado que la tasa de cambio (instantánea) del área es (por definición) la derivada de esta integral indefinida, tenemos:

$FTC :$

$A'(x)=f(x)$.

Ahora bien, tal vez explicar lo que puedes hacer con este teorema te permita entender mejor lo que significa .

En lenguaje sencillo, FTC se puede establecer de la siguiente manera

(1) puede encontrar indirectamente la derivada de una función encontrando la función de la que es una integral (es decir, si$f_1$es la integral de$f_2$, entonces la derivada de$f_1$es simple$f_2$)

(2) puede encontrar indirectamente una primitiva de una función encontrando la integral de esta función (si$f_1$es una integral indefinida de$f_2$, entonces$f_1$es un primitivo de$f_2$, y por lo tanto$f_1$es idéntico a cualquier primitivo$F$de$f_1$, pero para una constante ).

(3) puedes encontrar indirectamente la integral definida de una función$f$de$a$a$b$(es decir, el número$\int_{a}^{b}f(x)dx$) simplemente calculando la diferencia$F(b)-F(a)$,$F$siendo cualquier primitivo de$f$.

EDITAR :

(1) agregó este punto: la función F es idéntica a la función A pero para una constante (este es siempre el caso para 2 primitivas de la misma función).

(2) también agregó un tercer caso que es la declaración más común de la FTC en los libros de College Calculus.

La FTC simplemente dice que

Si$f$es una función diferenciable en el intervalo$[a,b ]$y si su derivada$f '$es integrable en$[a,b]$Entonces nosotros tenemos

$$\int_a^bf '(x)dx = \Bigl[ f(x) \Bigr]_a^b=$$ $$f(b)-f(a)$$

Este teorema permite calcular integrales habituales y, en particular, utilizar la integración por partes.

Esta es una forma de calcular integrales simplemente restando un valor del otro.

Dice que el cambio total de una función (integral del diferencial de la función en un intervalo) es igual a la diferencia en los valores de la función en los extremos del intervalo.

Es decir, dada la integral

$$\int_a^bf'(x)\mathrm dx,$$ desde$f'(x)\mathrm dx$es el diferencial de$f(x),$entonces la integral se puede reescribir como $$\int_a^b \mathrm d(f(x)),$$ y esto se puede calcular tomando la diferencia$f(b)-f(a).$Ese es el teorema fundamental del cálculo.

Dado un intervalo$[a,b]$y una funcion$f: \>[a,b]\to{\mathbb R}$hay algo así como el "impacto total de$f$en$[a,b]$". Este "impacto total" se llama la integral de$f$encima$[a,b]$, y se denota por

$$\int_a^b f(x)\>dx\ .$$ Cuando$f(x)>0$en$[a,b]$este "impacto total" está representado intuitivamente por el área entre$y=0$y$y=f(x)$durante el intervalo$[a,b]$.

Esta configuración indica que queremos$\int_a^b f(t)\>dt\geq0$cuando$f(t)\geq0$, entonces

$$\int_a^b \bigl(\lambda f(t)+\mu g(t)\bigr)\>dt=\lambda \int_a^b f(t)\>dt+\mu\int_a^b g(t)\>dt$$ así como $$\int_a^b f(t)\>dt=\int_a^c f(t)\>dt+\int_c^b f(t)\>dt\qquad(a<c<b)\ .$$ Pensando en toda la situación se llega a la integral de Riemann $$\int_a^b f(t)\>dt=\lim_\ldots\sum_{k=1}^N f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})\tag{1}\ ,$$ un límite complicado. Por supuesto que queremos calcular esta integral en muchos casos. Cuando$f$se da solo numéricamente como un conjunto de datos, entonces podemos usar$(1)$para una aproximación numérica de la integral.

Pero a menudo la función$f$se da como una expresión analítica , y esperamos que el valor de la integral también se pueda expresar "analíticamente". Ahí es donde entra la FTC. Este teorema dice que las integrales anteriores están conectadas con las llamadas primitivas de$f$. Tal primitiva es una función$F$atado a$f$por la condición$F'=f$. Cuando$f$viene dada por una expresión analítica en la variable$x$entonces a menudo es posible encontrar otra expresión analítica$F(x)$satisfactorio$F'(x)\equiv f(x)$, p.ej,$\sin'(x)\equiv\cos x$.

La FTC luego dice lo siguiente: Si$F$es un primitivo de$f$válido durante el intervalo$[a,b]$entonces

$$\int_a^b f(t)\>dt=F(b)-F(a)\ .$$ Este teorema no es una "reformulación de definiciones". es un milagro Permite el cálculo del límite de interés$(1)$por la evaluación de$F$-valores. Pero necesitamos conocer la "expresión analítica" de$F$cuando$f$se da como tal expresión.

La FTC dice que la integración y la diferenciación son operaciones inversas. Si diferencia el tipo correcto de integral, obtendrá el integrando de vuelta. Si integras una derivada, recuperas la función original.

D(I(f)) = f

I(D(f)) = f.