Hallar el grado y los coeficientes del polinomio

Un polinomio se denota por F ( X ) . Los coeficientes del polinomio son enteros positivos.

F ( 1 ) = 17
F ( 20 ) = 421350
¿Podrías decir si tal polinomio es posible? En caso afirmativo, encuentre el grado del polinomio y también sus coeficientes.

Mi inferencia: Usando F ( 20 ) = 421350 podemos determinar, que el grado del polinomio no puede exceder 4 . Además, dado que todo coeficiente es positivo, por lo tanto, cada coeficiente individual < 17 . El coeficiente constante independiente de X es 10 . Desde 421350 -El término constante debe ser divisible por 20 .

Respuestas (2)

Tenga en cuenta que para cualquier polinomio PAG con coeficientes enteros, y cualquier número entero a y b , PAG ( a ) − PAG ( b ) es divisible por a − b . Esto es porque a k − b k es divisible por a − b .

Entonces si hay un polinomio F ( X ) con los valores dados, entonces 421350 − 17 debe ser divisible por 19 . Pero no lo es. Entonces no existe tal polinomio, incluso sin la restricción de positividad.

excelente respuesta!
Entonces el polinomio no existe.
@AdwaitKumar: Así es. Pedir que los coeficientes fueran positivos fue un pequeño truco, hace que el problema parezca más difícil de lo que es.
No veo la conexión. Lo que escribí es que si F ( 20 ) = 421350 y F ( 1 ) = 17 , dónde F es un polinomio con coeficientes enteros, entonces 20 − 1 debe dividir 421350 − 17 . No es así, lo que significa que no existe tal polinomio. F ( X ) .

Fuerza bruta. Tome su coeficiente constante 10 y observe

F ( 20 ) − 10 20 = 21 067
Esto da el coeficiente de X como 7. El total de coeficientes hasta ahora es 17, que viene dado por F ( 1 ) , pero necesita términos más altos para obtener F ( 20 ) bien.

¿Puede la persona que rechazó esto explicar por qué? Esta es una forma perfectamente razonable de usar la positividad y la integralidad de los coeficientes, extendiendo el método en la publicación original, que sugerí porque podría aclarar por qué se hizo la pregunta de esa manera (por ejemplo, para evitar tener que notar el enfoque André Nicholas puso su respuesta, haciendo que la positividad haga algún trabajo).
Totalmente de acuerdo. Voté a favor, por supuesto, pero eso solo niega en parte el efecto del voto negativo incorrecto.
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