Pregunta básica relativista - cuatro vectores, matriz de Lorentz

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Pregunta básica relativista - cuatro vectores, matriz de Lorentz

Física
covarianza
cálculo tensorial
relatividad especial

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He escuchado relativismo solo muy comprimido durante mi época de estudiante. Ahora volví a buscar las definiciones y me viene una pregunta a la mente:

Un vector contravariante se transforma así: $(a^\mu)'=L_{\mu\lambda}a^\lambda$ donde $L_{\mu\lambda}$ es la matriz de Lorentz. Un vector covariante se transforma así: $(a_\mu)'=L^{-1}_{\lambda\mu}a_\lambda=L^{T}_{\lambda\mu}a_\lambda=L_{\mu\lambda}a_\lambda$ . ¿Significa esto que no importa si tengo cuatro vectores covariantes o contravariantes, uso la misma matriz para transformarlos de un sistema de coordenadas a otro?

Y una pregunta general: ¿Por qué necesito cuatro vectores co-Y contravariantes? ¿No es suficiente con uno?

EDITAR: Mis definiciones

Creo que encontré la solución. ¡No tenemos las definiciones comunes de los cuatro vectores! Tengo una definición como esta:

$a^\mu=(a_1,a_2,a_3,\mathrm{i}ct)$

La definición normal es:

$a^\mu=(a_1,a_2,a_3,ct)$

Entonces, en cuanto a las respuestas, da igual donde ponga los índices de la matriz de Lorentz, ¿no? Dentro de la nueva definición, la matriz de Lorentz se vuelve no simétrica

$L=\left(\begin{array}{ccc}\cosh \theta &0&0&\mathrm{i}\sinh \theta \\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\ -\mathrm{i}\sinh&0&0&\cosh \theta\end{array}\right)$

Por el contrario, la matriz normal de Lorentz es

$L=\left(\begin{array}{ccc}\cosh \theta &0&0&\sinh \theta \\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\ \sinh&0&0&\cosh \theta\end{array}\right)$

Ahora vemos que efectivamente $(a_\mu)'=L^{-1}_{\lambda\mu}a_\lambda=L^{T}_{\lambda\mu}a_\lambda=L_{\mu\lambda}a_\lambda$ . Entonces, en esta representación, la transformación de cuatro vectores co y contravariantes se realiza mediante la misma matriz. ¿Alguien puede confirmar?

Respuestas (3)

Pregunta básica relativista - cuatro vectores, matriz de Lorentz

Siyuán Ren · Answer 1

Como han señalado otros, los índices en su expresión son incorrectos. Debería ser $a'^\mu=L^\mu{}_\lambda a^{\lambda}$ . Los vectores covariantes se transforman como $a'_\mu=L_\mu{}^\lambda a_\lambda$ .
Los vectores covariantes y contravariantes son duales entre sí. Su distinción simplifica la expresión del producto interior.
$a^\mu=(a_1,a_2,a_3,\mathrm{i}ct)$ es lo que enseña la relatividad más elemental. En esta expresión, no hay distinción de vectores covariantes y contravariantes, por lo que los índices superior e inferior son todos iguales. La matriz de transformación de Lorentz es ortogonal (compleja) (no unitaria) y es la misma para cualquiera de los vectores. Esta convención simplifica la vida, por lo que se enseña a los primeros alumnos.
La distinción entre vectores covariantes y contravariantes es muy importante en la relatividad general, por lo que para ser generalizable, es mejor distinguir los vectores covariantes y contravariantes incluso en la relatividad especial.

En mi libro, acabo de encontrar las definiciones que usé y no puedo ver claramente por qué esto debería estar mal y por qué es necesario escribirlo como lo hizo en 1.
@DaPhil: ¿Tu libro usa tiempo imaginario? En ese caso como dije, no hay distinción entre índices superior e inferior.
@DaPhil: Entonces tu libro está mal. Los índices deben coincidir entre sí.
Me sorprendería si está mal. Es una especie de libro de texto estándar sobre física teórica en Alemania. Supongo que estoy entendiendo algo mal. ¿Podrías explicar dónde está la diferencia entre $L^\mu_{\hphantom{\mu}\nu}$ y $L_\mu^{\hphantom{\mu}\nu}$ ? ¿Qué quiere decir con que los índices deben coincidir? Tampoco puedo ver índices coincidentes en tu respuesta.
@CR Los vectores covariantes no se transforman como ha escrito en el párrafo 1 porque en esta definición $a_{\mu}a^{\mu}$ no es invariante.
@CR Ignore mi comentario sobre los vectores covariantes, tiene toda la razón para el $ict$ forma.
@DaPhil: ¿Quizás su libro de texto usa una notación diferente? Los índices coincidentes significan que la parte superior $\mu$ en el lhs debe coincidir con el superior $\mu$ en el rhs En tu pregunta escribes $(a^\mu)'=L_{\mu\lambda}a^\lambda$ , dónde $\mu$ el de la izquierda es superior y el de la derecha inferior.
@DaPhil: $L^{\mu}{}_{\nu}L_{\mu}{}^{\lambda}=L^{\mu}{}_{\nu}g_{\mu\rho}g^{\lambda\sigma}L^{\rho}{}_{\sigma}=g_{\nu\sigma}g^{\sigma\lambda}=\delta_{\nu}^{\lambda}$ , por lo que las dos matrices de transformación son inversas entre sí.

Noldig · Answer 2

Una matriz de Lorentz no debe convertir un vector covariante en un vector contravariante, solo lo hace la métrica. Entonces ve que tiene varios errores en su notación de índice. La segunda señal de error: ¡Solo debe sumar sobre un índice superior y uno inferior! ¿Por qué? El espacio dual es el espacio de funciones lineales que asigna un número a un vector. En la mayoría de los casos el dual del espacio dual es el espacio mismo, entonces lo que trato de decir es: Solo un covector * contravector o viceversa puede dar un número.

Entonces, en mi opinión, la primera línea debería verse así: $(a^{\mu})' = \Lambda^{\mu}_{\nu}a^{\nu}$

El segundo: $(a_{\mu})' = \Lambda_{\mu}^{\nu}a_{\nu}$

La transformada inversa es el mismo impulso de Lorentz con velocidad negativa, si realiza el impulso y luego el inverso, debería volver al sistema original.

Espero que esto responda a sus preguntas.

Por cierto, ¿puede algún día mostrarme cómo puedo separar los índices inferior y superior para que no estén uno encima del otro?

Esteban Blake · Answer 3

Ayuda si la matriz está escrita $L^{\mu}_{\ \ \lambda}$ . Los vectores contravariantes se transforman como,

a^{' m} = L_{λ}^{m} a^{λ}

$a'^{\mu}=L^{\mu}_{\ \ \lambda}a^{\lambda}$ y los vectores covariantes se transforman como,

a_{m}^{'} = [L^{- T}]_{m}^{λ} a_{λ} = a_{λ} [L^{- 1}]_{m}^{λ} .

$a'_{\mu}=[L^{-T}]_{\mu}^{\ \ \lambda}a_{\lambda}=a_{\lambda}[L^{-1}]^{\lambda}_{\ \ \mu} \ .$ Las matrices de transformación de Lorentz dejan la métrica de Minkowski

η_{μ λ} = d i a g [1, - 1, - 1, - 1]

$\eta_{\mu\lambda}=diag[1,-1,-1,-1]$ invariante.

η_{m λ}^{'} = [L^{- T}]_{m}^{ρ} [L^{- T}]_{λ}^{σ} η_{ρ σ} = η_{m λ}

$\eta'_{\mu\lambda}=[L^{-T}]_{\mu}^{\ \ \rho}[L^{-T}]_{\lambda}^{\ \ \sigma}\eta_{\rho\sigma}=\eta_{\mu\lambda}$ La transposición de la segunda matriz de Lorentz da,

η_{m λ} = [L^{- T}]_{m}^{ρ} η_{ρ σ} [L^{- 1}]_{λ}^{σ}

$\eta_{\mu\lambda}=[L^{-T}]_{\mu}^{\ \ \rho}\eta_{\rho\sigma}[L^{-1}]^{\sigma}_{\ \ \lambda}$ cual es

η = L^{- T} η L^{- 1}

$\eta=L^{-T}\eta L^{-1}$ en forma matricial. Desde

η

$\eta$ no es una matriz unitaria la inversa

L^{- 1}

$L^{-1}$ no es igual a su traspuesta

L^{T}

$L^{T}$ y entonces

L^{- T} \neq L

$L^{-T}\neq L$ y, por lo tanto, los vectores contravariantes se transforman de manera diferente a los vectores covariantes.

La razón de los dos tipos es que las diferentes cantidades físicas se transforman de diferentes maneras. Por ejemplo, coordenadas $x^{\mu}$ son contravariantes y momentos $p_{\mu}$ son covariantes.

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¿Cómo se transforma la transformación de Lorentz ΛμνΛμν\Lambda^{\mu}{}_{\nu}?

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