¿Cómo se transforma la transformación de Lorentz ΛμνΛμν\Lambda^{\mu}{}_{\nu}?

De hecho, para agregar a la respuesta de orión , la definición de un vector (y/o espinor) en física (a diferencia de la definición matemática como un elemento de un espacio lineal sobre un campo) se establece con mayor frecuencia en términos de cómo el objeto en cuestión transforma ( por ejemplo , vea mi respuesta aquí ) cuando se realizan "transformaciones de coordenadas": más precisamente, cuando uno cambia entre dos gráficos superpuestos de una variedad. Los vectores se transforman como los miembros de espacios tangentes en variedades. Los "covectores" o formas únicas son funcionales lineales de vectores. Entonces los tensores son simplemente funcionales multilineales generales de vectores y/o formas únicas. Me gusta mucho el lenguaje y el estilo de enseñanza de Misner Thorne y Wheeler "Gravitation" aquí,primera parte de las conferencias de Kip Thorne aquí .

La transformación de Lorentz, por otro lado, es un tipo de transformación de coordenadas y, como tal, un vector/una forma/tensor debe , por definición, transformarse en la forma prescrita por él.

Entonces, los tensores, los vectores y las formas n se definen por cómo se comportan sus componentes en respuesta a las transformaciones de coordenadas. Si lo desea, los tensores, los vectores y las formas n son una especie de "software" (o "máquina" para usar la redacción de Kip Thorne y Misner/Thorne/Wheeler) que se construye según una especificación de cómo ese software/máquina debe reaccionar ante varias entradas. En esta analogía, la transformación de Lorentz es una de las entradas para la máquina abordada por la especificación.

Es una transformada, no un tensor. Los tensores describen una cantidad física en un punto seleccionado en el tiempo-espacio y tienen que transformarse en consecuencia. Pero la matriz de Lorentz no describe ninguna cantidad física en un solo marco, es solo un cambio de variables entre dos marcos de coordenadas. Puedes entender esto por analogía con las rotaciones 3D. Las transformaciones se componen (multiplican) juntas: si pasa de coordenadas$a$a$a'$y luego de$a'$a$a''$, multiplicas las transformaciones para obtener una transformación directa de$a$a$a''$.

La transformación de Lorentz no transforma, ya que no es un objeto que vive en la variedad del espacio-tiempo como lo hacen los vectores y los tensores.

En general, los objetos que consideramos "vectores" o "tensores" son elementos de las potencias tensoriales de los espacios (co)tangentes en cada punto de la variedad espaciotemporal. Bajo cualquier transformación de coordenadas$x^\mu \mapsto y^\mu(x)$, un elemento del espacio tangente se transformará como

mientras que un elemento del espacio cotangente se transforma como

Estos se extienden por linealidad a productos tensoriales arbitrarios de los espacios (co)tangentes. Ahora, una transformación de Lorentz es solo una transformación de coordenadas tal que$x \mapsto \Lambda x$, de modo que las derivadas que actúan sobre los espacios (co)tangentes son$\Lambda$y$\Lambda^{-1}$en cada punto, respectivamente.

El$\Lambda$no es miembro de ningún espacio (co)tangente, no pertenece a un punto en particular, sino que es la derivada de la transformación general de coordenadas aplicada.

Ya que, por poner un ejemplo concreto; para dos$4$-vectores$a^{\mu}, b^{\mu}$no es demasiado difícil demostrar que el producto escalar