Qué significa el término "relación de completitud"

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Qué significa el término "relación de completitud"

usuario35305

Por mi humilde formación en matemáticas (físico), tengo una vaga noción de lo que un espacio de Hilbert es en realidad matemáticamente, es decir, un espacio de producto interno que es completo , con completitud en este sentido, lo que significa heurísticamente que todas las posibles secuencias de elementos dentro de este espacio tienen un límite bien definido que es en sí mismo un elemento de este espacio (¡¿creo que esto es correcto?!). Esta es una propiedad útil ya que permite hacer cálculos en este espacio.

Ahora bien, en la mecánica cuántica los espacios de Hilbert juegan un papel importante ya que son los espacios en los que "viven" los estados (puros) de los sistemas mecánicos cuánticos. Dado un conjunto de vectores base ortonormales, $\lbrace\lvert\phi_{n}\rangle\rbrace$ para tal espacio de Hilbert, uno puede expresar un vector de estado dado, $\lvert\psi\rangle$ como una combinación lineal de estos estados básicos,

| ψ ⟩ = \sum_{norte} C_{norte} | ϕ_{norte} ⟩

$\lvert\psi\rangle=\sum_{n}c_{n}\lvert\phi_{n}\rangle$ ya que los estados base son ortonormales, es decir

⟨ ϕ_{n} | ϕ_{m} ⟩ = δ_{n m}

$\langle\phi_{n}\lvert\phi_{m}\rangle =\delta_{nm}$ encontramos eso

c_{n} = ⟨ ϕ_{n} | ψ ⟩

$c_{n}=\langle\phi_{n}\lvert\psi\rangle$ , y por lo tanto

| ψ ⟩ = \sum_{norte} C_{norte} | ϕ_{norte} ⟩ = \sum_{norte} ⟨ ϕ_{norte} | ψ ⟩ | ϕ_{norte} ⟩ = (\sum_{norte} | ϕ_{norte} ⟩ ⟨ ϕ_{norte} |) | ψ ⟩

$\lvert\psi\rangle=\sum_{n}c_{n}\lvert\phi_{n}\rangle =\sum_{n}\langle\phi_{n}\lvert\psi\rangle\lvert\phi_{n}\rangle =\left(\sum_{n}\lvert\phi_{n}\rangle\langle\phi_{n}\lvert\right)\lvert\psi\rangle$ lo que implica que

\sum_{norte} | ϕ_{norte} ⟩ ⟨ ϕ_{norte} | = 1

$\sum_{n}\lvert\phi_{n}\rangle\langle\phi_{n}\lvert =\mathbf{1}$ Esto se conoce como una relación de integridad , pero no estoy seguro de a qué se refiere. También he leído que la base debe estar completa. ¿Se refiere esto a la noción de integridad asociada con los límites de las secuencias, o hay algo más que me estoy perdiendo?

Respuestas (3)

Qué significa el término "relación de completitud"

Valter Moretti · Answer 1

Un espacio de Hilbert $\cal H$ es completa lo que significa que toda sucesión de vectores de Cauchy admite un límite en el propio espacio.

Bajo esta hipótesis existen bases de Hilbert también conocidas como sistemas ortonormales completos de vectores en $\cal H$ . Un conjunto de vectores $\{\psi_i\}_{i\in I}\subset \cal H$ se llama un sistema ortonormal si $\langle \psi_i |\psi_j \rangle = \delta_{ij}$ . También se dice que es completo si se cumple cierto conjunto de condiciones equivalentes. Uno de ellos es

\begin{matrix} (1) & ⟨ ψ | ϕ ⟩ = \sum_{i \in yo} ⟨ ψ | ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} | ϕ ⟩ \forall ψ, ϕ \in H . \end{matrix}

$\langle \psi | \phi \rangle = \sum_{i\in I}\langle \psi| \psi_i\rangle \langle \psi_i| \phi \rangle\quad \forall \psi, \phi \in \cal H\tag{1}\:.$ (Esta suma es absolutamente convergente y debe interpretarse si

I

$I$ no es contable, pero no entraré en estos detalles aquí.) Dado que

ψ, ϕ

$\psi,\phi$ son arbitrarios, (1) a menudo se escribe

\begin{matrix} (2) & yo = \sum_{i \in yo} | ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} | . \end{matrix}

$I = \sum_{i\in I}| \psi_i\rangle \langle \psi_i|\tag{2}\:.$

¿La relación de completitud tiene algo que ver con el intervalo del conjunto de vectores base? ¿O es simplemente que la sucesión de Cauchy de vectores base debe sumar a la identidad? Tengo que admitir que todavía no estoy seguro de lo que significa esta condición. ¿Es que la sucesión de Cauchy $\sum_{n}\langle\phi_{n}\vert\psi\rangle\lvert\phi_{n}\rangle$ debe ser convergente una suma para igualar el vector de estado $\lvert\psi\rangle$ ?
La condición (1) es de hecho equivalente a $\psi = \sum_{i\in I} \langle \psi_i|\psi\rangle \psi_i$ para todos $\psi \in \cal H$ . En esta situación, la secuencia de Cauchy relevante está formada por todos los vectores $\Psi_N := \sum_{|i|<N}\langle \psi_i|\psi\rangle \psi_i$ . Entonces, sí, la relación de completitud es equivalente al hecho de que la base abarca todo el espacio cuando se consideran todas las secuencias infinitas en la topología del espacio de Hilbert.
Está bien. ¡Supongo que lo encuentro confuso ya que pensé que, por definición, un conjunto de vectores base abarcan el espacio vectorial?
@ user35305 hay diferentes definiciones de "base" y "intervalo" en juego aquí. Es posible que haya aprendido por primera vez en una clase de álgebra lineal es una "base de Hamel", donde solo se permiten sumas finitas. En este tipo de contexto, estamos tratando con una base Schauder/Hilbert donde se permiten sumas infinitas.
@Marcas. ¿Cómo se diferencian en este caso? Entonces, ¿una base de Schauder/Hilbert no es necesariamente completa, es decir, no abarca todo el espacio vectorial?
@ user35305 Una base Schauder/Hilbert no "se extiende" en el sentido de que no todos los vectores son una combinación lineal finita de cosas en la base. Sí "abarca" en el sentido de que cada vector es un límite de combinaciones lineales finitas (una "combinación lineal infinita").
@Marcas. ¿Es esto lo que significa entonces la relación de completitud?
@ user35305 La relación de integridad es presumiblemente lo que Valter Moretti dijo que era. Intuitivamente, es una relación que dice "¿este sistema ortonormal que tienes? De hecho, es una base de Schauder/Hilbert. No necesitas más para escribir todo como una combinación lineal infinita de cosas en el sistema".

Martín Uding · Answer 2

Esta relación de completitud de la base significa que puedes llegar a todas las direcciones posibles en el espacio de Hilbert. Significa que cualquier $|\psi \rangle$ se pueden formar a partir de estos vectores base.

Si la suma de los proyectores (los ket-bras) no fuera la matriz unitaria, el vector $|\psi\rangle$ podría tener componentes que no pueden ser representados dentro de su base.

Tome un ejemplo tridimensional. Tomando los tres vectores de base canónica como su $|\phi_n\rangle$ , me gusta $|\phi_1\rangle = (1, 0, 0)^\mathrm T$ y así sucesivamente, se puede ver la relación de completitud. Si falta uno de ellos, su base no abarcaría todo el $\mathbb R^3$ espacio.

Obtuve el caso de ejemplo que diste antes, pero no estaba seguro del razonamiento general detrás de por qué una base está completa si su producto externo suma a la matriz de identidad. Quiero decir, ¿una base, por definición, no abarca todo el espacio vectorial?
Un conjunto de vectores tiene que cumplir la relación de completitud para ser una base.
Ah, ok, entonces el punto es que uno primero considera un conjunto de vectores, expresa un vector arbitrario en términos de este conjunto y luego encuentra que para que este conjunto de vectores sea un conjunto base y (en este sentido) completos, necesariamente deben satisfacer la relación de completitud?! ¿Tiene esto algo que ver con las sucesiones de Cauchy y el sentido de integridad que define un espacio de Hilbert?
A su primera pregunta, creo que la relación de completitud es equivalente al requisito de que una base abarque todo el espacio. La propiedad con las secuencias de Cauchy es probablemente más bien algo relacionado con el campo subyacente ( $\mathbb C$ ); No estoy muy seguro de esa parte.

arif · Answer 3

Este es solo un truco matemático para descomponer un vector en componentes del espacio. considerar como $i,j,k$ del espacio cartesiano $\sum_{c=i,j,k} |c\rangle \langle c|$ . Un vector se puede descomponer en el espacio cartesiano.

ψ = \sum_{C = i, j, k} | C ⟩ ⟨ C | ψ

$\psi=\sum_{c=i,j,k}|c\rangle \langle c|\psi$ , cuando aplicaremos

| i ⟩ ⟨ i |

$|i\rangle\langle i|$ en

ψ

$ψ$ . es decir

| i ⟩ ⟨ i | ψ ⟩

$|i\rangle\langle i| ψ\rangle$ , la

⟨ i | ψ ⟩

$\langle i|ψ\rangle$ nos dará valor del vector

“ a ”

$“a”$ y

| i ⟩

$|i\rangle$ da dirección. esto es solo para un componente. de manera similar para

j

$j$ y

k

$k$ , asi que

ψ = a i + b j + c k

$ψ=ai+bj+ck$ . Pero para el problema de dimensión infinita, necesitamos un espacio de dimensión infinita, es decir, el espacio de Hilbert. habrá infinitos componentes,

i, j, k, l, m, n, o \dots \dots . .

$i,j,k,l,m,n,o……..$

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