¿Qué significa el término "lógica matemática"?

El término moderno se debe a George Boole , con su folleto de 1847:

• El análisis matemático de la lógica ,

apuntando a la aplicación de herramientas y métodos matemáticos al estudio de la lógica.

Para una descripción histórica reciente, ver:

• Leila Haaparanta (editora), El desarrollo de la lógica moderna (2009).

En el mismo folleto, Boole establece también un vínculo con el idioma :

[ página 5 ] La teoría de la Lógica está así íntimamente conectada con la del Lenguaje.

Este vínculo "ya estaba allí" desde el principio: véanse las Categorías de Aristóteles y el calculus ratiocinator y la lingua charactera de Leibniz .

El vínculo con el lenguaje apoya la distinción básica entre el cálculo proposicional , donde el nivel de "análisis" de la estructura lógica del lenguaje es muy aproximado, considerando solo los conectores oracionales , y la teoría de la cuantificación , donde tenemos un enfoque más "fino" (pero todavía muy lejos de describir el funcionamiento de la "vida real" del lenguaje natural) nivel de detalle, basado en la cuantificación .

La codificación moderna de lenguajes lógicos tiene muchos "padres", pero el nacimiento oficial es Begriffsschrift de Gottlob Frege (1879).

La lógica matemática moderna es "matemática" también en otro sentido: algunas ramas de ella son simplemente disciplinas matemáticas, como por ejemplo, la teoría de la computabilidad y las matemáticas constructivas , o son

"la lógica del razonamiento matemático",

como la teoría de modelos y la teoría de pruebas .

Editar

Parece que el nombre "lógica matemática" fue utilizado por primera vez por Augustus De Morgan en On the syllogism no.III (1858), reimpreso en:

• Sobre el silogismo: y otros escritos lógicos , página 78.

@Mauro ALLEGRANZA se me adelantó con una excelente respuesta, pero como ya había redactado esto, aquí hay otra toma:

La respuesta es "ninguna".

Definitivamente no es la afirmación de que las matemáticas y la lógica son lo mismo. La preocupación central de la lógica, en la mayoría de las cuentas, es la noción de consecuencia lógica y/o inferencia válida. Por lo general, encontrará palabras en este sentido al comienzo de los textos introductorios. Es mucho más difícil decir cuál es la preocupación central de las matemáticas. Históricamente, se han ofrecido nociones como cantidad, magnitud, número, etc., pero las matemáticas cubren tanto terreno conceptual que es difícil elegir algo común a todos, pero no trivial. La consecuencia lógica, por el contrario, no solo no es trivial, sino que sigue siendo algo misteriosa. Compare la noción de computabilidad, que siguió siendo un misterio hasta que llegó Turing y proporcionó un modelo que se considera universalmente satisfactorio tanto formal como intuitivamente. Nadie ha logrado aún hacer eso para los informales,

Tenga en cuenta que no hay una razón prima facie para pensar que nuestra noción intuitiva de consecuencia lógica tiene algo que ver con las matemáticas.

¿Qué pasa con "la lógica del razonamiento matemático"? El razonamiento matemático, por definición, es lo que hacen los matemáticos cuando "hacen" matemáticas, y es informal. Ahora es posible publicar pruebas formales de resultados matemáticos, pero casi nadie lo hace y algunos piensan que es una mala idea. La argumentación matemática puede ser muy disciplinada, pero no es formal. Sin embargo, la lógica matemática es formal. Podría argumentar que ML es un intento de expresar formalmente el razonamiento informal de los matemáticos que trabajan, pero eso es algo muy diferente a ofrecer una "lógica de las matemáticas". Este último sugiere (al menos para mí) un intento de dar una explicación(en algún sistema formal, que es en sí mismo un objeto matemático) de cómo funciona el razonamiento matemático informal, que es realmente un proyecto filosófico. ML no explica nada, es solo una tecnología.

También depende de lo que entiendas por "matemáticas". ¿Clásico o intuitivo? La mayoría de los textos sobre ML con los que me he encontrado asumen implícitamente que las matemáticas clásicas (que se basan en la semántica condicional de verdad) es el único juego en la ciudad, lo cual no es el caso.

Personalmente pienso en la lógica matemática como lógica matematizada: tratamiento de las formas lógicas como objetos matemáticos, sin pretender que la lógica sea reducible a las matemáticas. Así que es más un concepto metodológico.

Józef Maria Bocheński, OP's 1959 A Precis of Mathematical Logic define la "lógica matemática" de esta manera en la p. 1:

0.2. Lógica y matemáticas . La lógica matemática se denomina 'matemática' por su origen, ya que se ha desarrollado particularmente con el objetivo de examinar los fundamentos de esta ciencia. Hay además una cierta semejanza externa entre sus fórmulas y las de las matemáticas. Ciertos lógicos también afirman que las matemáticas son solo una parte de la lógica, aunque esta opinión está lejos de recibir la aprobación general. Sin embargo, la lógica matemática no considera ni los números ni las cantidades como tales, sino cualquier objeto.