Espacio solución de una ecuación diferencial con simetría rotacional 3D

Question

Espacio solución de una ecuación diferencial con simetría rotacional 3D

Física
simetría
teoría de grupos
representaciones de grupo
teoría de la representación

M.Zeng

Sabemos que el espacio de soluciones será invariante bajo rotaciones 3D, pero ¿por qué podemos decir que el espacio de soluciones constituirá una representación del grupo de rotación? $SO(3)$ ? Sabemos que una representación de grupo de Lie es solo un homomorfismo de grupo de Lie de este grupo de Lie al espacio de transformaciones lineales en algún espacio vectorial:

Π : GRAMO ⟶ GRAMO L (V)

$\Pi:G\longrightarrow GL(V)$ Entonces, si vamos a pensar en el espacio de solución como una representación de

S O (3)

$SO(3)$ , ¿sobre qué actúa exactamente el espacio de solución o cuál es exactamente el mapa para el homomorfismo?

Valter Moretti

¿La ecuación es lineal?

M.Zeng

¿Es relevante la linealidad? en realidad, no sé mucho sobre cómo resolver ED usando la teoría de Lie. lo que describí anteriormente es una declaración tomada del libro de grupo de Lie de Brian Hall, que pretende ilustrar algunos ejemplos para las aplicaciones de las representaciones de grupo.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/19751/2451 , physics.stackexchange.com/q/53462/2451 y enlaces allí.

M.Zeng

esta muy relacionado? no lo veo bien. ¿Podría ser más específico?

Valter Moretti

@Timo pregunté sobre la linealidad solo para entender si te refieres a representaciones lineales de

S O (3)

$SO(3)$ o representaciones más generales.

una mente curiosa

¿ Conoces los armónicos esféricos ? Son esencialmente la respuesta a esta pregunta.

M.Zeng

@ValterMoretti digamos que es una representación lineal por simplicidad

M.Zeng

@ACuriousMind sí, sé armónicos esféricos. Entonces, si consideramos los armónicos esféricos como ejemplo, ¿por qué decimos que el espacio de los armónicos esféricos es un homomorfismo de grupo de Lie continuo de

S O (3)

$SO(3)$ Para algo

G L (V)

$GL(V)$ ?

una mente curiosa

Si se denota por

V_{l}

$V_l$ el

2 l + 1

$2l+1$ espacio vectorial dimensional sobre el cual la representación de espín entero de

S O (3)

$\mathrm{SO}(3)$ etiquetado por

l

$l$ existe, entonces el espacio de armónicos esféricos es

⨁_{l \in N} V_{l}

$\bigoplus_{l \in \mathbb{N}} V_l$ .

Respuestas (1)

Espacio solución de una ecuación diferencial con simetría rotacional 3D

¿Es relevante la linealidad? en realidad, no sé mucho sobre cómo resolver ED usando la teoría de Lie. lo que describí anteriormente es una declaración tomada del libro de grupo de Lie de Brian Hall, que pretende ilustrar algunos ejemplos para las aplicaciones de las representaciones de grupo.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/19751/2451 , physics.stackexchange.com/q/53462/2451 y enlaces allí.
esta muy relacionado? no lo veo bien. ¿Podría ser más específico?
@Timo pregunté sobre la linealidad solo para entender si te refieres a representaciones lineales de $SO(3)$ o representaciones más generales.
¿ Conoces los armónicos esféricos ? Son esencialmente la respuesta a esta pregunta.
@ValterMoretti digamos que es una representación lineal por simplicidad
@ACuriousMind sí, sé armónicos esféricos. Entonces, si consideramos los armónicos esféricos como ejemplo, ¿por qué decimos que el espacio de los armónicos esféricos es un homomorfismo de grupo de Lie continuo de $SO(3)$ Para algo $GL(V)$ ?
Si se denota por $V_l$ el $2l+1$ espacio vectorial dimensional sobre el cual la representación de espín entero de $\mathrm{SO}(3)$ etiquetado por $l$ existe, entonces el espacio de armónicos esféricos es $\bigoplus_{l \in \mathbb{N}} V_l$ .

Valter Moretti · Answer 1

Supongo que se trata de un primer orden autónomo ( al menos $C^1$ o suave) sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias y que se satisfacen las hipótesis suficientes para la existencia y unicidad de las soluciones máximas.

Siempre puede reducir al caso de un sistema de primer orden agregando variables auxiliares, $\dot{x}$ , al sistema inicial de ecuaciones diferenciales y añadiendo ecuaciones triviales como $\frac{dx}{dt} = \dot{x}$ .

El sistema de ecuaciones diferenciales se asigna en alguna variedad $M$ , por ejemplo $\mathbb R^n$ .

Según tengo entendido, hay una acción natural de $SO(3)$ en $M$ formado por difeomorfismos. En otras palabras, hay un mapa.

S O (3) ∋ R \mapsto ϕ_{R} \in D i F F (METRO)

$SO(3) \ni R \mapsto \phi_R \in Diff(M)$ tal que

ϕ_{R} ϕ_{R^{'}} = ϕ_{R R^{'}}

$\phi_R \phi_{R'}= \phi_{RR'}$ y

ϕ_{I} = i d

$\phi_I = id$ . yo tambien espero eso

M \times S O (3) ∋ (p, R) \mapsto ϕ_{R} (p) \in M

$M\times SO(3) \ni (p,R) \mapsto \phi_R(p) \in M$ es uniformemente liso.

Si $q\in M$ hay exactamente una solución máxima a través de $q$ para $t=0$ :

γ_{q} : I_{q} ∋ t \mapsto γ_{q} (t) \in METRO

$\gamma_q: I_q \ni t \mapsto \gamma_q(t) \in M$ con

I_{q}

$I_q$ un intervalo abierto de

R

$\mathbb R$ incluido

0

$0$ .

El espacio de las soluciones $S$ Puede ser definido como $\{\gamma_q\}_{q\in M}$ . (En realidad también deberíamos tomar el cociente con respecto a la relación de equivalencia $\gamma_q \sim \gamma_{q'}$ si y si $\gamma_q = \gamma_{q'}$ . El espacio cociente es el verdadero espacio de soluciones si queremos que $q\in M$ etiquetar fielmente las soluciones.)

Luego, decir que el sistema de ecuaciones diferenciales es $SO(3)$ invariante, significa que $\phi_R \circ \gamma_q \in S$ si $\gamma_q \in S$ . Obviamente, debido al teorema de unicidad

ϕ_{R} \circ γ_{q} = γ_{ϕ (q)} y I_{q} = I_{ϕ_{R} (q)}

$\phi_R \circ \gamma_q = \gamma_{\phi(q)}\quad \mbox{and}\quad I_q = I_{\phi_R(q)}$ De esta manera da lugar a una representación de

S O (3)

$SO(3)$ en

S

$S$ definido por

S O (3) ∋ R \mapsto g_{R}

$SO(3) \ni R \mapsto g_R$ con

({gramo}_{R} γ_{q}) := γ_{ϕ_{R} (q)} = ϕ_{R} \circ γ_{q} .

$(g_R \gamma_q) := \gamma_{\phi_R(q)} = \phi_R \circ \gamma_q\:.$ Es fácil probar que

g_{I} = i d

$g_I =id$ y eso

g_{R} g_{R^{'}} = g_{R R^{'}}

$g_Rg_{R'}= g_{RR'}$ . Finalmente la acción de

g

$g$ es suave también. Quiero decir que el mapa

I_{q} \times S O (3) ∋ (t, R) \mapsto {gramo}_{R} (γ_{q}) (t) \in METRO

$I_q \times SO(3) \ni (t, R) \mapsto g_R(\gamma_q)(t) \in M$ es suave (al menos

C^{1}

$C^1$ ) en vista de la suave (o al menos

C^{1}

$C^1$ ) teorema de dependencia de las soluciones máximas de una EDO a partir de las condiciones iniciales. De hecho

A := U_{q \in M} {q} \times I_{q} \subset M \times R

$A := U_{q\in M} \{q\} \times I_q \subset M\times \mathbb R$ es un conjunto abierto (como resultado general de ODE) y, por lo tanto, uno puede enfocarse en el mapa

A \times S O (3) ∋ (q, t, R) \mapsto {gramo}_{R} (γ_{q}) (t) \in METRO

$A \times SO(3) \ni (q, t, R) \mapsto g_{R}(\gamma_q)(t) \in M$ que resulta ser suave (al menos

C^{1}

$C^1$ ) también.

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