¿Qué significa "autocontradictorio"?

En este video , el matemático Gregory Chaitin afirma que "la noción del conjunto de todos los conjuntos es autocontradictoria ". ¿Qué significa "autocontradictorio"? ¿Es diferente de "contradictorio"? Hay teorías de conjuntos en las que existe un conjunto que contiene a todos los conjuntos como elemento.

Es un poco vago. A menudo, hay principios asumidos implícitamente ("inmutables") además de suposiciones explícitas que están sujetas a aceptación/rechazo ("variable"). Autocontradictorio significa contradictorio bajo los principios anteriores ya (para el conjunto de todos los conjuntos originalmente los de la teoría ingenua de conjuntos), mientras que contradictorio se relativiza con respecto a los supuestos variables.
o en términos más simples, la contradicción surge de la cosa misma (concepto, proposición, lo que sea), no de alguna cosa adicional. si tienes P y también !P puedes derivar una contradicción inmediata, pero no es una autocontradicción
Si está interesado en este tipo de cosas, intente leer el excelente libro reimpreso de Chaitin cs.auckland.ac.nz/~chaitin/ws.html. Es bastante fácil de seguir, con solo requisitos básicos de matemáticas modestos. Lo siento, no veo un pdf en línea gratuito, pero no puedo probar que no exista.

Respuestas (2)

Autocontradictorio es algo que se contradice a sí mismo. Un conjunto de todos los conjuntos es autocontradictorio porque un conjunto no puede contenerse a sí mismo normalmente, por lo que no puede contener "todos los conjuntos". Es una paradoja de auto referencia.

https://en.wikipedia.org/wiki/Autorreferencia

https://en.wikipedia.org/wiki/Category:Self-referential_paradoxes

https://en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox

https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory

EDITAR: para ubicar el elemento de referencia propia, consulte este ejemplo:

Supongamos que cada biblioteca pública tiene que compilar un catálogo de todos sus libros. Dado que el catálogo es en sí mismo uno de los libros de la biblioteca, un bibliotecario debe incluirlo en el catálogo para que esté completo. Pero, ¿qué pasaría si hubiera una restricción de que cuando el libro es un catálogo debe incluir una lista de su contenido? Esto conducirá a una repetición infinita del nombre del catálogo con su contenido.

Book list
--------
a,
b,
c,
book list (a, b, c, book list( a,b,c, book list( -> inf ) ) )

Por lo tanto, no es la pura referencia a uno mismo lo que crea la paradoja (solo establece la base para que aparezca la paradoja), sino la posibilidad de autonegación de un enunciado autorreferencial. Puedo decir "estoy vivo" pero no puedo decir "no estoy vivo".

Una serpiente no tiene problemas para comer serpientes o colas, pero si se come su propia cola, se autoconsume. Esto lleva a la paradoja de Russel, donde un conjunto universal puede contenerse a sí mismo pero conduciría a otro conjunto de conjuntos que "no se incluyen a sí mismos", lo cual es paradójico para un conjunto universal.

la autorreferencia parece un tema aparte.
mmm, yo llamaría a "pequeño dios" un oxímoron en lugar de un concepto autocontradictorio. son realmente dos conceptos. "conjunto de todos los conjuntos" obviamente autorreferencial, pero no estoy seguro de que se pueda decir lo mismo de todas las autocontradicciones. desafortunadamente no puedo pensar en un contraejemplo de la parte superior de mi cabeza. Podría estar equivocado.
Hola. Creo que @mobileink es correcto. Cuando te enseñan teoría de conjuntos, proporcionan pruebas no triviales de que "el conjunto de todos los conjuntos" es autocontradictorio. Nadie se basa en la mera referencia a sí mismo en este sentido.
@John Sus ejemplos agregados son interesantes, pero no están exactamente relacionados con el caso de "el ser de todos los conjuntos". El catálogo de la biblioteca parece infinito, no paradójico. El infinito lo hace, por supuesto, poco práctico, pero el infinito no es un problema en la teoría de conjuntos. En cuanto a la autonegación, no parece haber nada de esto en "el conjunto de todos los conjuntos". Es un concepto estrictamente positivo .
@Ram Tobolski Lea el artículo completo sobre la paradoja de Russel en Wikipedia. en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox Verifique que esté incluido en la lista de paradojas autorreferenciales en.wikipedia.org/wiki/Category:Self-referential_paradoxes
"En cuanto a la autonegación, no parece haber nada de esto en 'el conjunto de todos los conjuntos'". Por supuesto que existe el "Conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos". Un conjunto contiene (tesis), un conjunto no contiene (antítesis). Esta es la razón por la que la paradoja aparece en el enunciado negativo.

Todas las contradicciones lógicas se basan en autocontradicciones.

Se produce una autocontradicción cuando hay un enunciado p tal que se cumplen tanto p como no p.

p y no p

Un enunciado, o un conjunto de enunciados, se denomina autocontradictorio si y solo si (*) implica una autocontradicción.

s => p y no p

Un predicado Q, o una descripción "la Q", se denominan contradictorios en sí mismos si cualquier intento de usarlos implicará una contradicción en sí mismos. Este es el sentido en el que se ha demostrado que "el conjunto de todos los conjuntos" es contradictorio consigo mismo.

Qa => p y no p
La Q existe => p y no p

Finalmente, para un uso de "contradictorio" sin "yo": decimos que los enunciados (o conjuntos de enunciados) p1 y p2 son mutuamente contradictorios si y solo si ninguno es autocontradictorio, pero su conjunción (p1 y p2) es autocontradictoria. Por ejemplo, las afirmaciones "no hay unicornios" y "vi un unicornio en el parque" son contradictorias entre sí.

p1 =/> p y no p
p2 =/> p y no p
p1 y p2 => p y no p

(*) si y si = si y solo si

Hola Ram. Tu primera frase es muy fuerte. estos días hay muchas lógicas. si hay una pluralidad genuina de lógicas (incluidas las lógicas que no involucran axiomas), entonces no estoy seguro de que todas las contradicciones lógicas puedan reducirse a autocontradicciones. ¿pensamientos?
@mobileink Como sabrá, en la llamada lógica "clásica", las autocontradicciones (y solo ellas) implican cualquier otra declaración (p y no p => q, para cualquier q). También existen lógicas "paraconsistentes", en las que las autocontradicciones no implican ningún otro enunciado. Supongo que podría haber lógicas en las que algunos enunciados que no son autocontradictorios implicarían cualquier otro enunciado. Tales afirmaciones serían una especie de contradicciones que no se basarían en autocontradicciones...
¿No estás equiparando "falso" y "contradicción"? no necesita una contradicción para pasar de P a Q para cualquier Q, todo lo que necesita es P falso. No estoy seguro de que "ex falso quodlibet" y "ex contradictione quodlibet" sean el mismo principio. el primero solo involucra la verdad, el segundo involucra la inferencia, al menos en la medida en que llegar a una contradicción involucra la inferencia. Tal vez estoy siendo quisquilloso, pero creo que la diferencia entre la lógica condicional de verdad y la lógica constructiva (¿o inferencial?) es realmente grande. ;)
@mobileink Tiene razón en que la falsedad implica materialmente cualquier otra declaración. Mi respuesta, sin embargo, no trata de la implicación material, sino de la consecuencia lógica (vinculación). Sólo las contradicciones, no las falsedades, implican cualquier otro enunciado. He cambiado el nombre de "implicar" a "implicar" en mi respuesta, para aclarar esto.
No veo qué es "p" y qué es "no p". ¿Significa existencia? P es? P no es? "Un ser humano es grande y pequeño al mismo tiempo. Grande en relación con una hormiga, pequeño para un elefante". Aquí el sujeto se predica con dos predicamentos opuestos y no hay contradicción alguna. También: "Hoy estoy vivo pero dentro de 40 años estaré muerto". Sin autocontradicción. Además, no veo cómo "no hay unicornios" y "vi un unicornio en el parque" son mutuamente contradictorios porque si el parque es el parque "de fantasía" no hay contradicción.
En general no veo cómo se relacionan tus símbolos con el mundo, porque no hay posibilidad de que me nieguen imaginar unicornios. Los unicornios están bien y libres de cualquier contradicción en mi imaginación o en mis afirmaciones: "Hoy dibujo un lindo unicornio" ¿Puedes responder "dibujar unicornios es una contradicción porque p == !p ?
La garantía de una autocontradicción es que no puedes imaginarla más porque bloquea el bucle infinito de una paradoja autorreferencial.
@JohnAm Considero la imaginación, la ficción, la simulación y demás, contextos especiales con cuentas separadas. Están excluidos aquí.
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