Sea ψuna fórmula bien formada (wff) . Pruebalo
(ψ ≡ ⊥) ⇔ {x:ψ(x)}=Ø
es decir, la fórmula ψes una contradicción si y solo si el conjunto que describe no tiene miembros.
Nota Esta pregunta no se trata de entender por qué esto es cierto. La idea parece intuitivamente simple: si ψes una contradicción, entonces es falsa y ningún elemento xde la teoría de conjuntos puede satisfacerla. Es decir, ψ(x)es falso para cualquier x. Entonces el conjunto {x:ψ(x)}no tiene miembros, es decir, es igual al conjunto vacío Ø. La otra dirección tampoco es difícil de entender (si {x:ψ(x)}=Ø, entonces ningún conjunto xsatisface ψ, entonces ψ(x)debe ser falso para cualquier x, por lo que tiene sentido que ψsea una contradicción).
Mi pregunta es, ¿cómo podría uno probar esto formalmente (es decir, formalizar mi argumento no en términos de oraciones sueltas en inglés como las que he proporcionado, sino en lógica formal estricta?) Tenga en cuenta que mi conocimiento de la lógica y la estructura es muy limitado, aparte de la introducción. teoría de conjuntos y los axiomas ZFC. Pero estoy tratando de formalizar mi comprensión básica de la lógica de manera similar a cómo ZFC formalizó la teoría de conjuntos para mí. ¡Gracias por tu ayuda!
Tenemos que recordar que:
un ∈ {x:ψ(x)} ⇔ ψ(a)
(esta es la definición del símbolo "set-builder" { _ : __ } ).
Pero {x:ψ(x)} = Ø , y por tanto :
para todo a, a ∉ {x:ψ(x)} ⇔ para todo a, ¬ψ(a) .
a∈{x:ψ(x)} ⇔ ψ(a), ¿cómo es que esto no se toma explícitamente como un axioma en ZFC? ¿Recomiendas algún libro que profundice en este tema?@EthanAlvaree Supongo que consideras que psi es un predicado unario. Y que su declaración psi equivalente falsa significa: Para todo x: psi(x) es falso .
Si eso es lo que quieres decir, entonces casi por definición:
psi equivalente falso si y sólo si El conjunto de todas las x, que satisfacen psi, está vacío.
Conifold