Subfórmulas de la WFF (∀x) ((∀y) ((x ∈ y) ∨ (y ∈ x )))

Puede usar un árbol de análisis para esto. Primero dibuja el árbol de análisis, luego dibuja cuadros alrededor de los subárboles.

Y ves que tenías razón.

Tenga en cuenta, por ejemplo, que ∀y ∀x (x ∈ y ∨ y ∈ x) es equivalente a una subfórmula (es decir, la fórmula completa), pero no una subfórmula en sí misma, porque no existe en el árbol de análisis. Necesita modificar la estructura para llegar a ese formulario.

A pedido, aquí hay un ejemplo completo de LaTeX para generar la imagen de la derecha:

\documentclass[11pt,border=10pt]{standalone}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}[every node/.style={draw,circle}]
    \node (ax) {$\forall x$}
        child{ node (ay) {$\forall y$} 
            child { node (or) {$\lor$} 
                child { node (xy) {$x\in y$} }
                child { node (yx) {$y\in x$} }
            }
        };
    \draw[red] ($(xy.south west)-(0.3,0.3)$) rectangle ($(xy.north east) + (0.3,0.3)$);
    \draw[red] ($(yx.south west)-(0.3,0.3)$) rectangle ($(yx.north east) + (0.3,0.3)$);
    \draw[red] ($(xy.south west)-(0.4,0.4)$) rectangle ($(yx.north east |- or.north east) + (0.4,0.3)$);
    \draw[red] ($(xy.south west)-(0.5,0.5)$) rectangle ($(yx.north east |- ay.north east) + (0.5,0.3)$);
    \draw[red] ($(xy.south west)-(0.6,0.6)$) rectangle ($(yx.north east |- ax.north east) + (0.6,0.3)$);
\end{tikzpicture}

\end{document}

En general, las subfórmulas de Φ son aquellas fórmulas utilizadas en la construcción de Φ. Puedes ver la construcción de Φ como un árbol, y cada fórmula en ese árbol es una subfórmula del tronco del árbol resultante (tal vez esto sea más intuitivo que la definición formal recursiva que ves en el libro).

Una forma informal de construir su fórmula y mostrarla está bien formada, utilizando la colección de fórmulas de la teoría de conjuntos definida en el Libro de Weiss:

1. (x ∈ y) es una wff por la Regla 1
2. (y ∈ x ) es una wff por la Regla 1
3. (x ∈ y) ∨ (y ∈ x ) es una wff por la Regla 4
4. (∀y) ((x ∈ y) ∨ (y ∈ x )) es una wff por la Regla 7
5. (∀x) ((∀y) ((x ∈ y) ∨ (y ∈ x ))) es una wff por la Regla 7

Y ahí tienes las subfórmulas.

Es cierto que (∀x) ((x ∈ y) ∨ (y ∈ x )) es un wff, puedes ver esto con la regla 7:

7. Si Φ es una fórmula y vi es una variable, entonces (∀vi)Φ también es una fórmula.

Entonces, si ((x ∈ y) ∨ (y ∈ x )) es una fórmula y x es una variable, entonces (∀x) ((x ∈ y) ∨ (y ∈ x )) también es una fórmula.

Sin embargo, (∀x) ((x ∈ y) ∨ (y ∈ x )) no es una subfórmula de tu fórmula original, porque no se usa en su construcción. Lo mismo ocurre con el otro caso que mencionaste.