¿En qué sentido es la teoría de conjuntos la "metateoría" del análisis?

"Teoría de conjuntos" es un término vago, que puede referirse a la teoría de conjuntos "ingenua" que involucra propiedades básicas de conjuntos de puntos, funciones, relaciones, etc. Estos están en el mismo nivel de objeto que el análisis, aunque son de aplicación más general y son también se usa en geometría, aritmética, álgebra, etc. Sin embargo, Tao se refiere específicamente a "fundamentos teóricos de conjuntos". Estas son teorías axiomáticas que "interpretan" el análisis reconstruyéndolo a partir de lo que se proporciona en los axiomas mismos, y nada más. El más popular de ellos, ZFC (por Zermelo-Fraenkel-Choice, el último hace referencia al axioma de elección), lo construye formalmente todo a partir de un único predicado (pertenece a) y unos objetos proporcionados por sus axiomas de existencia (conjunto vacío, conjunto infinito, conjunto potencia de un conjunto, etc.). Algunas de las construcciones se identifican luego con objetos analíticos.

Construir una metateoría generalmente significa axiomatizar un campo y razonar sobre lo que puede y no puede derivarse de la teoría formal resultante, por ejemplo, si es consistente, completa, si sus axiomas son independientes entre sí, etc. Una forma estándar de resolver estos problemas está construyendo varios modelos de teoría de conjuntos , por ejemplo, Gödel demostró la consistencia (relativa) del axioma de elección con otros axiomas de ZFC mediante la construcción de modelos ZF donde se cumple, Hilbert demostró de manera similar la independencia del postulado paralelo de otros axiomas de la geometría euclidiana . Existe una forma similar de axiomatizar el análisis real, y el estudio de dicha(s) axiomatización(es) se logra incrustándolo(s) formalmente en la teoría axiomática de conjuntos, ver ¿ Es riguroso el enfoque axiomático para definir R?Es por eso que Tao considera que los "fundamentos de la teoría de conjuntos" son "parte de la metateoría del análisis".

El artículo de wikipedia parece algo en desacuerdo con la forma en que entiendo el uso del término: la metateoría proporciona los elementos en términos de los cuales discutiremos una teoría.

Es decir, la teoría de conjuntos nos habla sobre conjuntos y funciones y cómo calcularlos y razonar con ellos, luego el análisis usa las nociones de conjunto y función para desarrollar el cálculo y demás.

Uno podría, supongo, desarrollar un campo de "metaanálisis" que es el estudio del análisis mismo, pero eso no es lo que implica el término "metateoría" aquí.

Tao aclara en un comentario :

Estrictamente hablando, si uno quiere discutir apropiadamente la teoría de la deducción lógica, debe tener cuidado de distinguir entre la teoría formal "interna" que se está discutiendo (por ejemplo, la lógica proposicional o lógica de primer orden), y la más informal (y "externa"). ”) metateoría utilizada para discutir esa teoría formal. Con una perspectiva tan cuidadosa, reglas deductivas como “Dado que “Si X es verdadero, entonces Y es verdadero”, uno puede deducir “Si Y es falso, entonces X es falso”” son parte de la metateoría externa, en lugar de la metateoría. teoría misma. En realidad, en sentido estricto, el uso de frases como “es verdadero” o “es falso” ya forman parte de la metateoría; si uno se adhiriera completamente a la sintaxis formal de la lógica proposicional, debería decir cosas como "Dado que "$X \implica Y$", uno puede deducir "$\neg Y \implica \neg X$".

(He intentado usar LaTeX, pero no estoy seguro de si la filosofía.se lo admite; por lo tanto, los posibles signos de dólar en el pasaje citado son míos).

Parece que Tao usa la "metateoría" como se usaría el "metalenguaje" para discutir un "lenguaje objeto" (o, de manera análoga, exponer la "teoría del objeto"). De ahí que el término aparezca como sinónimo de "fundamentos de las matemáticas".

La teoría de conjuntos no es de ninguna manera la base de las matemáticas o el análisis, pero está en clara contradicción con ellos. Aunque los teóricos de conjuntos eligen simplemente tener un punto ciego en este asunto, es claro para todo observador objetivo. El ejemplo más simple incluso comprensible para los no matemáticos es este:

Cuando Scrooge McDuck recibe diariamente 10 dólares enumerados y gasta diariamente un dólar, es decir, el que tiene el número más bajo, entonces se arruinará en el límite teórico establecido. En el límite matemático se volverá infinitamente rico.

Cuando McDuck gaste siempre ese dólar con el número más alto en su poder, se volverá infinitamente rico incluso en el límite teórico establecido. Esta dependencia del índice muestra que la teoría de conjuntos tampoco puede tener ninguna aplicación científica.