¿Cómo describir la evolución del tiempo en QFT relativista?

Sobre Dirac, teniendo en cuenta la comprensión moderna de QFT, estrictamente hablando, está equivocado. Dirac, como muchos otros en su época, estaba asustado por los «infinitos», pero ahora entendemos la naturaleza de estos infinitos. Primero, desde el punto de vista matemático, existen métodos de regularización confiables que convierten infinitos en cantidades finitas que dependen del parámetro de regularización. Se demuestra la corrección matemática de las regularizaciones. En segundo lugar, desde el punto de vista físico, una dependencia de la regularización significa dependencia de la teoría de más bajo nivel, la física en la (supuesta) escala de Planck si hablamos de teorías fundamentales.

Por lo tanto, la receta de Dirac para el cuadro de Schrödinger debe entenderse en sentido inverso . Cuando en un libro (generalmente de los años 60 o anterior) vemos una afirmación de que algo debe desecharse, que algo se niega a hacer debido a un infinito, debemos «traducirlo» al lenguaje moderno: se permite hacer, pero con la ayuda de la regularización.

Otros infinitos provienen de la idealización del intervalo de tiempo (opcional en principio). Es decir, el intervalo de tiempo$\Delta t \gg h / E$, dónde$E$Esta escala de energía del proceso se considera infinita.$\Delta t = \infty$. Esta idealización, junto con otros infinitos, conduce a características de QFT de aspecto extraño, pero comprensibles después de pensar un poco.

Ahora, teniendo en cuenta todo lo dicho anteriormente, veamos los estados en QFT y su dependencia del tiempo.

QFT viene con una representación inusual llamada representación física o de partículas libres . El espacio de Hilbert$\mathcal H$es un espacio de Fock:

$$\mathcal H = \left\{ \sum_j c_j \prod_i (n_{ij}!)^{-1/2} (\alpha_i^+)^{n_{ij}} \vert 0 \rangle \middle\vert n_{ij} \in \mathbb N_0, \sum_i n_{ij} < \infty, c_j \in \mathbb C, \sum_j |c_j|^2 = 1 \right\},$$ y hamiltoniano$\hat H$los elementos de la matriz son $$\langle a \vert \hat H \vert b \rangle = \langle a \vert \hat H_0 \vert b \rangle + \operatorname{const}, \tag{*}$$ dónde$a, b \in \mathcal H$, y$\hat H_0$tiene estructura hamiltoniana libre: $$\hat H_0 = \sum_i E_i \hat \alpha_i^+ \hat \alpha_i.$$

La constante en (*) es infinita, entonces (como señaló Dirac)$\hat H$no se puede utilizar como un generador de dependencia de tiempo. (Pero recuerde que «no puede» significa «puede, pero con la debida regularización».) Pero equivalente (porque difiere solo en una constante sin sentido)$\hat H_0$no tiene ese problema.

Pero$\hat H_0$es un hamiltoniano libre! Entonces, ¿cómo se puede describir la evolución de los estados si, como sabemos, las partículas pueden reaccionar? La clave es que describe correctamente la evolución para intervalos de tiempo finitos, pero no para uno infinito. (Recuerde, cuando los infinitos aparecen en la vista, debemos usar la regularización y ser precisos con los límites). La reacción de las partículas requiere un tiempo infinito y se describen por$S$-matriz

$$\hat S = \exp \left( { \frac 1 {ih} \int_{-\infty}^{\infty} dt (\hat H - \hat H_0 - \operatorname{const}) } \right),$$ donde está implícita la regularización adecuada (por lo general, incluye pasar a un sistema en una caja de volumen finito y conmutación adiabática de interacción).

Al final, cuando se elimina la regularización, tenemos dos cosas bien definidas que describen la evolución temporal de los estados: partículas libres Hamiltoniano$\hat H_0$y$S$-matriz$\hat S$. Pero no permiten seguir la reacción de las partículas en el tiempo en detalle.

Tal seguimiento detallado es posible usando un hamiltoniano verdadero regularizado.$\hat H$. Pero el cálculo es técnicamente difícil y, al mismo tiempo, el resultado dependerá completamente de la regularización, lo que significa que físicamente depende en gran medida de los detalles de la teoría más fundamental (a menudo desconocida).

Resumiendo todo lo anterior, la utilidad de la imagen de Schrödinger para cálculos específicos es muy limitada. Pero a nivel abstracto siempre podemos usar esta imagen con estados evolutivos.

$U=e^{-iH(t_{1}-t_{0})}$es de hecho el operador formal de evolución temporal en RQFT. Sin embargo, típicamente, el$U$no existe para un sistema con un número infinito de grados de libertad y es por eso que uno nunca ve un$\psi(t)$calculado explícitamente.

En el libro de Dirac de 1966 "Lectures on Quantum Field Theory", la sección 7 en la página 31 estudia un modelo hamiltoniano para un sistema de fermiones de dimensión infinita. Dirac muestra que uno puede integrar las ecuaciones de movimiento de Heisenberg para el modelo hamiltoniano y no pasa nada malo. Luego muestra que el intento de obtener$U$al integrar la ecuación de Schrödinger falla porque$U$explota.

El libro de FA Berezin "El método de la segunda cuantificación" da fórmulas explícitas para$U$para sistemas bosónicos y fermiónicos de dimensión infinita donde el generador (por ejemplo, hamiltoniano) es cuadrático en los operadores de creación y aniquilación (Berezin muestra que$U$es una representación unitaria del grupo simpléctico de dimensión infinita Sp($\infty$,R)). Con el fin de obtener una mejor comprensión de las conferencias de Dirac, utilicé el de Berezin.$U$para el modelo hamiltoniano de Dirac, pero cambiado a un sistema bosónico, y descubrió que$U$explota y no existe.

Esto significa que uno tiene que leer los libros QFT escritos después de la década de 1960 (por ejemplo, Itzykson y Zuber, Weinberg, Peskin y Schroeder) como obras de ficción porque$U$aparece y los libros no mencionan eso$U$no existe. El éxito de los cálculos prácticos en QFT parece ser el resultado de trabajar efectivamente con un número finito de grados de libertad (cuando$U$existe) poniendo el sistema en un enrejado en una caja.

Mi propia opinión es que la inexistencia de$U$está diciendo que QFT no puede decir nada sobre la evolución temporal de$\psi(t)$de modo que sólo tiene sentido una descripción en el infinito.