¿Cómo puede un hamiltoniano determinar el espacio de Hilbert?

A veces, cuando se habla de la teoría cuántica de campos, la gente habla como si un hamiltoniano determinara qué es el espacio de Hilbert. Por ejemplo, en esta respuesta AccidentalFourierTransform dice

Imagina un H 0 eso depende de las variables del espacio de fase PAGS , X . [...] Si sumas la perturbación L → ⋅ S → , con S → el giro de la partícula, luego cambia el espacio de Hilbert, porque el nuevo espacio tiene tres variables de espacio de fase PAGS , X , S , y no se puede abarcar el último con una base del primero.

Este tipo de lenguaje también aparece cuando se presenta el campo escalar libre: muchas notas de conferencias y libros de texto hablan de 'construir' o 'construir' el espacio de Hilbert, o 'encontrar' el 'espacio de Hilbert del hamiltoniano'.

Este tipo de razonamiento me parece exactamente al revés. ¿Cómo es posible definir un hamiltoniano, es decir, un operador en un espacio de Hilbert, si no conocemos el espacio de Hilbert de antemano? Sin un espacio de Hilbert especificado, ¿no es H = pags 2 / 2 metro + V ( X ) ¿Solo una cadena de letras sin sentido sin definición matemática? Encuentro este cambio de perspectiva tan desconcertante que siento que me perdí una conferencia a la que todos los demás asistieron.

Por ejemplo, cuando se trata del oscilador armónico, es posible demostrar que el espacio de Hilbert debe contener copias de { | 0 ⟩ , | 1 ⟩ , … } utilizando únicamente las relaciones de conmutación. Pero no hay forma de precisar cuántas copias hay a menos que usemos el hecho de que el espacio de Hilbert es en realidad L 2 ( R ) lo que demuestra que a | 0 ⟩ = 0 determina un estado único. De manera similar, me imagino que para los campos cuánticos deberíamos comenzar con un espacio de Hilbert donde los estados individuales son configuraciones de campo clásicas, pero nunca he visto esto en la práctica; parece que no hay entrada más que el propio hamiltoniano. ¿Cómo podría eso ser suficiente?

Todos los espacios de Hilbert son isomorfos, por lo que puede usar el espacio de Hilbert que desee. Lo que determina el espacio de Hilbert es con qué espacio de Hilbert es más fácil trabajar.
@Slereah Eso es completamente falso. C 2 ≠ C 3 , por ejemplo. Esta es una buena pregunta en mi opinión.
Oh sí, infinitamente dimensional separable, específicamente
@Slereah, si bien eso es técnicamente cierto, es profundamente no físico. Un isomorfismo entre espacios de Hilbert divididos por funciones en espacios de diferente dimensión generalmente requerirá que elijas una base fija en cada uno, y eso sin más información solo lo otorga el axioma de elección. Para elegir un isomorfismo realmente utilizable , prácticamente necesita comenzar con una base propia, que solo tiene si el hamiltoniano ya está definido en el espacio correcto.

Respuestas (1)

El punto es que a veces se parte de un formalismo algebraico más o menos explícito donde inicialmente solo se utilizan manipulaciones algebraicas de elementos de álgebra. Aquí los operadores no son operadores en un espacio de Hilbert preciso, sino simplemente elementos de un unital ∗ -Álgebra y solo se utilizan composiciones (multiplicación con escalares, suma y producto algebraico) y la operación de involución (adjunto formal). A continuación, se ve si esta álgebra, con más condiciones técnicas (algún operador debe ser autoadjunto, alguna representación debe ser irreducible) o requisitos físicos (existe un estado adecuado) determinan únicamente un espacio de Hilbert donde esta álgebra se representa fielmente en términos de operadores. con dominios adecuados.

Por ejemplo, el álgebra de a , a ∗ determina completamente la representación del oscilador armónico estándar en L 2 ( R , d X ) si suponiendo que a ∗ a es esencialmente autoadjunto en un dominio invariante común denso y la representación que surge es irreducible.

En QFT, tan pronto como uno tiene una versión algebraica de los operadores de campo, un estado construye la representación del espacio de Hilbert a través del teorema de reconstrucción GNS, por ejemplo.

En ocasiones algunas hipótesis resultan incompatibles como ocurre en el caso del teorema de Haag.

En resumen, el hamiltoniano mismo, visto como un elemento de un unital ∗ -el álgebra no es suficiente para determinar un espacio de Hilbert donde la teoría se puede implementar de la manera estándar, se debe arreglar todo el álgebra y generalmente se necesita más información.

¿Cómo puede un hamiltoniano determinar el espacio de Hilbert?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v