¿Cuál fue la motivación de Dirac para estudiar monopolos magnéticos hipotéticos?

Contribución temprana de Curie

Pierre Currie señaló por primera vez que los monopolos magnéticos son una posibilidad en su artículo, que en inglés se titula Sobre la posible existencia de conductividad magnética y magnetismo libre en el que se describió el concepto de monopolo. Señala en la oración inicial,

Le parrallélisme des phénomènes électriques et magnétiques nous améne naturellement á nous demander si cette analogie est plus compléte.

Es decir -en inglés- el paralelismo que existe entre los fenómenos eléctricos y magnéticos nos lleva a considerar si se puede reforzar, es decir, a considerar una forma modificada de la ley de Gauss para el campo magnético, ya que de lo contrario las ecuaciones de Maxwell atan$\vec E$y$\vec B$juntos maravillosamente.

Condición de cuantificación de Dirac y solitones

El artículo de Dirac explora las consecuencias de los monopolos y, en particular, que implican la cuantificación de la carga eléctrica. En particular, esto se puede demostrar considerando una teoría con un Lagrangiano de la forma,

$$\mathcal L = \frac{1}{2e^2}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \frac{1}{e^2} \left( \mathcal D_\mu \phi\right)^2$$

con un campo escalar$\phi^a_b$transformándose en la representación adjunta de$SU(N)$. podemos establecer$\langle \phi \rangle = \vec \phi \cdot \vec H$dónde$\vec H$es una base para la subálgebra de$\mathfrak{su}(N)$. Sin entrar en demasiados detalles, existe una condición para romper la simetría de calibre al toro máximo,$U(1)^{N-1}$.

La razón por la que he usado este formalismo es para mostrar que los monopolos pueden verse como solitones, que han sido de interés para los físicos durante mucho tiempo. Están respaldados por el vev mencionado anteriormente y son de la forma$\langle \phi \rangle = \langle \phi (\theta,\varphi)\rangle$con$\theta,\varphi$coordenadas en el límite$S^2_\infty$. El campo magnético resulta ser de la forma,

$$B_i = \vec g \cdot \vec H(\theta,\varphi) \frac{\hat r_i}{4\pi r^2}.$$

Fijando el vev para que sea constante en el infinito, podemos escribir,

$$B_i = \mathrm{diag}(g_1,\dots,g_N)\frac{\hat r_i}{4\pi r^2}$$

con la condición$\sum g_a = 0$ya que el campo se encuentra en$\mathfrak{su}(N)$. Para llegar a la condición de cuantificación, uno puede encontrar el potencial 4 correspondiente, y para que las transformaciones de calibre sean de un solo valor, tenemos que,

$$\exp (i\vec g \cdot \vec H) = 1$$

que se satisface sólo por$g_a \in 2\pi \mathbb Z$en unidades donde$e= 1$, equivalente a la condición de cuantificación de Dirac. El objetivo del artículo de Dirac es mostrar las implicaciones de la existencia de monopolos, y se basa en un concepto ya descrito por Curie.

Además, como ha demostrado esta exposición, los monopolos pueden verse como solitones y estos fueron de interés para John Scott Russell antes de las publicaciones de Dirac sobre monopolos.

El argumento de Dirac es puramente teórico , mientras que la ecuación$(1)$en su pregunta se basa en experimentos: no prohíbe la existencia de un monopolo magnético; simplemente dice que no se observa (todavía).

Por lo tanto, está claro que la motivación de Dirac era mostrar teóricamente que vale la pena buscar monopolos magnéticos que, si se encuentran, pueden explicar la naturaleza cuantizada de la carga eléctrica y también hacer que las ecuaciones de Maxwell sean completamente simétricas.