¿Qué predice la relatividad general para el espacio-tiempo sin energía?

Soluciones a$G_{\mu\nu}=0$se denominan soluciones de vacío en GR, se sigue matemáticamente que esto sucede si y sólo si el tensor de Ricci se anula, es decir, las soluciones son exactamente las variedades lorentzianas planas de Ricci. En la mayoría de los ejemplos explícitos conocidos, solo alguna región es Ricci plana (por ejemplo, alrededor de los agujeros negros de Schwarzschild o Kerr), pero se conocen algunas soluciones globales de vacío sin singularidades. Su existencia contradice el principio fuerte de Mach, que implica que el universo sin materia (las singularidades se interpretan como materia degenerada) debe ser el espacio-tiempo plano de Minkowski. Un ejemplo es el vacío de Ozsváth-Schücking , que describe una onda gravitacional sinusoidal, otros son dados por una familia de Kasner vacua, que describe extraños universos en expansión sin materia. En los universos de Kasner, la expansión nunca puede ser isotrópica; de hecho, si el volumen general se expande con el tiempo, al menos una dirección espacial se contraerá.

Sin embargo, tenga en cuenta que "solo un continuo de espacio-tiempo" (energía de tensión cero y, por lo tanto, tensor de Einstein) no implica "ninguna energía", porque el campo gravitatorio en sí mismo puede realizar trabajo y, por lo tanto, transporta energía. Por ejemplo, las ondas de Ozsváth-Schücking transportan energía tal como lo harían las ondas electromagnéticas. "Sin energía alguna" significa que no sólo$G_{\mu\nu}=0$pero incluso$\partial_{\alpha}g_{\mu\nu}=0$, es decir, el espacio-tiempo es Minkowski localmente plano. Sin embargo, incluso estos pueden ser peculiares, por ejemplo, el espacio Deutsch-Politzer localmente plano contiene curvas temporales cerradas ("máquinas del tiempo").

OP está buscando las soluciones de vacío para las ecuaciones de campo de Einstein. Incluyendo solo la constante cosmológica $\Lambda$, las EFE se convierten en las ecuaciones de campo de Lambdavacuum ,

Para$\Lambda\neq0$, el espaciotiempo debe ser tratado como curvo, ya que (1) no admite soluciones espaciotemporales planas (cf. Padmanabhan (2003) , pdf). Las soluciones a (1) dan como resultado el espacio de De Sitter (por$\Lambda>0$) o espacio anti-de Sitter (para$\Lambda<0$). Consulte también este artículo de NED (también de Padmanabhan) y esta publicación de Physics.SE .

Para$\Lambda=0$, las ecuaciones del campo de vacío se pueden resolver con el espacio plano de Minkowski , el espacio de Schwarzschild o el espacio de Kerr (siempre que estemos mirando el espacio fuera de alguna esfera de radio distinto de cero). Las soluciones de este caso serían libres de singularidad, Ricci plana pero no necesariamente Riemann plana. Ver también esta publicación de Physics.SE .

Las ecuaciones de campo de Einstein son$G_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu}$.

Un universo vacío sería aquel en el que$T_{\mu\nu}=0$Las ecuaciones de campo de Einstein serían entonces

$G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=0$.

El término 00 de esto (para una métrica FLRW) es

$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2=\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{\kappa}{a^2}$.

Dices que quieres que la densidad del universo sea 0, entonces$\rho=0$. Establecer la curvatura para que sea plana, positiva o negativa ($\kappa = 0/+1/-1$, respectivamente), le da tres ecuaciones diferenciales para resolver el factor de escala en función del tiempo ($a(t)=...$).