¿Cuál es el 'problema de localización de energía' de la relatividad general?

Una manifestación del 'problema de localización de la energía' es la dificultad para definir un tensor de tensión-energía-momento para el campo gravitatorio, cf. por ejemplo, el pseudotensor de Landau-Lifshitz . Esto se analiza con más detalle en, por ejemplo, esta publicación Phys.SE relacionada.

He aquí una manera de pensar acerca de este problema.

Considere una manzana lejos de la Tierra (como lo está la Luna) moviéndose en el campo de gravedad de la Tierra hacia la Tierra. En la relatividad general, todos los marcos son aceptables para expresar las leyes de la física. Esto significa que el marco inercial fijo en la Tierra donde las manzanas aceleran está bien, y el marco de caída libre donde la manzana está en reposo está bien.

En el primer cuadro, el campo gravitacional está presente (distinto de cero) en todas partes y, por lo tanto, la energía gravitatoria proporcional al campo está presente en todas partes alrededor de la Tierra, incluida la vecindad de la manzana. El aumento de la energía cinética de la manzana puede estar relacionado con esta disminución de la energía de la gravedad.

Pero en el segundo cuadro no hay campo de gravedad cerca de la manzana (en su vecindad, el campo de gravedad se ha transformado), y la manzana no gana energía cinética. En cambio, la Tierra está ganando energía cinética. Entonces, en este marco, no podemos decir que hay energía proporcional al campo cerca de la manzana, pero hay una cerca de la Tierra.

A algunas personas les molesta esta inmensa diferencia en el lugar donde está presente la energía, dependiendo de nuestro marco de referencia elegido. Matemáticamente, resulta que uno no puede definir el tensor de energía-momento gravitacional, solo el "pseudotensor" que tiene en cuenta esta dependencia de la ubicación de la energía en el marco de referencia.

Esto realmente surge del deseo de que todos los marcos sean igualmente aceptables, algo que nunca fue aceptado en la mecánica pre-relativista. Pero el principio de GR es que todos los marcos son igualmente válidos, y entonces la "relatividad de la ubicación de la energía" es la implicación necesaria.

Es bien sabido en la Relatividad General (RG) que un tensordescribir la energía-momento del campo gravitatorio no existe; GR no está completo. Einstein se dio cuenta (con Grossmann) en 1913 que la gravedad gravita y debe haber un tensor que describa ese fenómeno. Sin embargo, no pudo producir esa entidad y en su lugar introdujo un pseudotensor en 1915. La inutilidad y la infinidad de pseudotensores y otros enfoques para describir la energía gravitacional local condujeron a la declaración general mencionada anteriormente. Sin embargo, la gravedad aún gravita y debemos ser capaces de producir un tensor para describir ese importante hecho. Eso se logró extendiendo un teorema clásico de geometría diferencial en un espacio-tiempo riemanniano, el teorema de Berger-Ebin, a un espacio-tiempo lorentziano llamado Teorema de descomposición ortogonal (ODT) en el artículo Relatividad general modificada,$w_{ab}$se puede descomponer en una suma lineal de tensores sin divergencia$v_{ab}$más otro tensor$\Phi_{ab}$, que pertenece a un subespacio ortogonal al de$v_{ab}$:$w_{ab}=v_{ab}+\Phi_{ab}$. Volviendo al postulado original de Einstein de un em tensor total$T_{ab}$, que debe ser sin divergencia y conservada localmente, la materia em tensor$\tilde{T}_{ab}$ya no es sin divergencia. Un múltiplo constante de él puede igualarse a un tensor simétrico arbitrario y descomponerse mediante la ODT para dar:$k\tilde{T}_{ab}=v_{ab}+\Phi_{ab}$. El teorema de Lovelock exige que en el espacio-tiempo 4-D, los únicos tensores simétricos sin divergencia que consisten en un concomitante de la métrica y sus dos primeras derivadas son la métrica y el tensor de Einstein. Así llegamos a la ecuación de Einstein$k\tilde{T}_{ab}=\Lambda g_{ab}+G_{ab}+\Phi_{ab}$con un nuevo tensor que describe la energía-momento del campo gravitacional. ¿Por qué puedo decir eso?$\Phi_{ab}$se construye a partir de la derivada de Lie de la métrica y un producto de covectores de elementos de línea unitaria. Las derivadas de Lie tienen la propiedad única de que un tensor construido a partir de ellas tiene el mismo valor cuando la derivada de Lie se expresa con derivadas covariantes o parciales. Así, cuando los coeficientes de conexión (Gamma) desaparecen en caída libre,$\Phi_{ab}$es invariante. La energía gravitacional se puede localizar. Es fácil probar que$\Phi_{ab}$desaparece si y solo si X, el vector del elemento de línea a lo largo del cual se calcula la derivada de Lie, es un vector Killing. Por supuesto, en general no hay vectores Killing a menos que se trate de una simetría. Los vectores de elementos lineales prácticamente nunca se usan en la literatura, excepto para algunos teoremas sobre la evolución del tiempo. Es imperativo entender que un espaciotiempo lorentziano no existe sin un campo de elementos lineales (X,-X): una variedad paracompacta no compacta admite una métrica lorentziana$g_{ab}$si y solo si admite un campo de elemento de línea (Hawking y Ellis 1973).

Para la materia oscura, es difícil averiguar dónde está exactamente presente su masa-energía-momento. Los efectos están ahí, pero averiguar de dónde vienen exactamente es difícil, ya que no se puede ver directamente. Las observaciones en Bullet Cluster parecen dar alguna indicación, pero la naturaleza exacta de la materia oscura (y por lo tanto su ubicación) es difícil de averiguar.