¿Qué límite de capacidad del canal de Shannon está asociado a dos giros acoplados?

La pregunta que se hace es:

¿Cuál es la capacidad del canal Shannon ? C que está naturalmente asociado al hamiltoniano cuántico de dos espines H = L ⋅ S ?

Esta pregunta surge con miras a proporcionar una ejemplificación bien planteada y concreta de la pregunta reciente de Chris Ferrie titulada Decoherencia y medición en RMN . También está influenciado por la intuición guía de la metrología y decoherencia Qubit de Anil Shaji y Carlton Caves (arXiv: 0705.1002) de que "para hacer que el análisis [de los límites cuánticos] sea significativo, introducimos recursos".

Y finalmente, es razonable esperar que una pregunta tan simple y natural pueda tener una respuesta rigurosa que también sea simple y natural, pero hasta donde yo sé (imperfectamente), tal respuesta no se da en la literatura.

Definiciones

Permita que Alice mida y controle mediante operaciones locales arbitrarias un spin- j S partícula en un espacio local de Hilbert S tener oscuro ⁡ S = 2 j S + 1 , sobre el cual los operadores de espín { S 1 , S 2 , S 3 } se definen satisfaciendo [ S 1 , S 2 ] = i S 3 como siempre.

De manera similar, permita que Bob mida y controle mediante operaciones locales arbitrarias un spin- j L partícula en el espacio local de Hilbert L tener oscuro ⁡ L = 2 j L + 1 sobre qué operadores de espín { L 1 , L 2 , L 3 } se definen satisfaciendo [ L 1 , L 2 ] = i L 3 como siempre.

Deje que la única interacción dinámica entre los espines, y por lo tanto la principal restricción de recursos que actúa sobre el canal de comunicación, sea el hamiltoniano. H = L ⋅ S definido en el espacio del producto S ⊗ L . Además, permita que Bob comunique información a Alice a través de un canal de comunicación clásico de capacidad ilimitada, pero permita que Alice no tenga ningún canal de comunicación con Bob, aparte del canal que es naturalmente inducido por H .

Entonces la pregunta formulada equivale a esto: ¿cuál es la tasa máxima de información de Shannon C ( j S , j L ) (en bits por segundo) en el que Alice puede comunicar información (clásica) a Bob a través del canal cuántico inducido por H ?

Narrativo

En la práctica, esta pregunta pide límites rigurosos y preferiblemente ajustados en la capacidad del canal asociada a la microscopía de un solo giro. El giro de la muestra S puede considerarse como un espín de muestra que se puede modular de cualquier manera deseada, y el espín del receptor L puede considerarse como un circuito sintonizado, un resonador micromecánico o un resonador ferromagnético, como se muestra a continuación:

Alice y Bob hacen microscopía de espín

El análisis de la encuesta PNAS Heritage, Achievements, and Prospects de Spin Microscopy (2009) se puede ampliar fácilmente para producir la siguiente forma asintótica conjeturada :

límite j S ≪ j L C ( j S , j L ) = j S ( j L ) 1 / 2 ( 2 π ) 1 / 2 Iniciar sesión ⁡ 2

Tenga en cuenta en particular que la dimensionalidad del espacio de Hilbert de giro del receptor de Bob L es O ( j L ) ; por tanto, un espacio de Hilbert que tiene una dimensión exponencialmente grande no está asociado al receptor de Bob. Sin embargo, es perfectamente admisible que Alice y Bob (por ejemplo) colaboren en exprimir sus respectivos estados de espín; en particular, la pregunta está formulada de tal manera que Alice puede recibir instrucciones en tiempo real de complejidad ilimitada de Bob al hacerlo.

Forma preferida de la respuesta

Una respuesta de forma cerrada que da un límite estrecho C ( j S , j L ) se prefiere, sin embargo, una demostración de que (por ejemplo) O ( C ) está dada por alguna expresión asintótica cerrada (como arriba) es aceptable.

También sería muy interesante, tanto desde el punto de vista de la física fundamental como desde el punto de vista de la investigación médica, tener una mejor apreciación de si la capacidad conjeturada anteriormente vinculada a las imágenes de espín y la espectroscopia se puede mejorar sustancialmente mediante cualquier medio que sea.

Rechacé esta pregunta porque parece una buena pregunta, pero no está escrita de la manera más clara. Hablas mucho sobre la pregunta y no estoy seguro de por qué incluyeste esa imagen. Creo que si se establece en un formato simple de motivación-definición-pregunta, sería una buena pregunta. Todavía no tengo completamente claro por qué uno debería preocuparse por un hamiltoniano de este tipo para sistemas mayores que spin-1/2. Estaré feliz de eliminar mi voto negativo si crees que no estoy siendo razonable.
¡Hoban, los votos negativos me preocupan mucho menos que la indiferencia! :) Sí, la física oscila incómodamente entre bellas matemáticas y bellos experimentos. Los espines mayores que 1/2 están motivados principalmente de manera experimental, como se menciona en mi comentario adjunto a la respuesta de Aram Harrow (abajo): es que la naturaleza nos proporciona partículas de gran espín (en forma de ferromagnetos) que tienen una densidad de espín espacial de miles de millones de veces mayor de lo que se puede lograr mediante (por ejemplo) condensados ​​de iones atrapados. El precio a pagar por esta densidad de espín es que la dimensión efectiva del espacio de Hilbert es mucho menor que dichos condensados.

Respuestas (2)

Esta es una pregunta abierta.

La capacidad de algunos hamiltonianos relacionados se calculó en quant-ph/0207052 y se derivó un límite superior en 0704.0964 , pero el hamiltoniano que describe es un ejemplo del que no sabemos la respuesta exacta.

Sin embargo, quant-ph/0207052 también contiene una conjetura (eq 35) sobre la capacidad que le interesa. Su conjetura está respaldada por experimentos numéricos, pero no pueden descartar que alguna estrategia de codificación de bloques podría funcionar mejor.

Editado a la luz de nuestra conversación de esta tarde: A partir de nuestra discusión, parece que ha demostrado un límite inferior de Ω ( j S j L ) usando algunos estados similares a gatos, basados ​​en principios similares a los de quant-ph/0605013. Creo que puedo probar un límite superior asintóticamente coincidente de O ( j S j L ) . Entonces, la constante exacta aún está abierta (y creo que es un problema difícil), pero al menos conocemos la escala.

Para este límite, primero argumente que la interacción se puede modelar como 2 j S qubits para Alice y 2 j L qubits para Bob, cada uno en un estado simétrico. Para probar un límite superior, podemos relajar la restricción de que los qubits estén en un estado simétrico. Luego, el hamiltoniano que describe se puede expresar como una suma de interacciones entre cada qubit de Alice y cada qubit de Bob, cada uno de los cuales tiene una fuerza constante. Estos hamiltonianos de dos qubits tienen capacidades limitadas en la parte superior por una constante. Una referencia para esta última afirmación es quant-ph/0205057, pero probablemente se conocía antes.

Aram, estas son referencias maravillosas por las que estoy muy agradecido. Con respecto específico a quant-ph/0207052 (ecuación 35), este resultado (AFAICT) se aplica únicamente a qubits acoplados (es decir, partículas de espín-1/2), mientras que cuando observamos las próximas décadas de microscopía de espín cuántico, prever espines acoplados a esferas ferromagnéticas que tengan espín-j ~ 10^5. Estas esferas tienen (efectivamente) un espacio de estado de dimensionalidad mucho más grande que un qubit, pero mucho más pequeño que 10^5 qubits; en resumen, su espacio de estado es lo suficientemente grande como para apretarlo, pero demasiado pequeño para (p. ej.) el cálculo cuántico. ¡Mas por favor! :)
Aram, como seguimiento, estoy empezando a apreciar más las razones por las que esta pregunta simple de formular es difícil de responder. Por ejemplo, el caso j S = 1 / 2 y j L ≫ 1 grande puede considerarse como una descripción efectiva de un experimento QED de cavidad, con S el espacio de estado del átomo transmisor de dos niveles y L el espacio de estado del detector receptor de alta eficiencia cuántica; estos sistemas son conocidos por ser difíciles de analizar teóricamente y difíciles de construir experimentalmente. Por el contrario, esto significa que sería muy valioso conocer un límite de capacidad ajustado de forma cerrada.
@AramHarrow: Esta actualización se parece mucho a la metrología. Parece que se puede aplicar el límite de Heisenberg.
@JoeFitzsimons, estoy de acuerdo. Pensé que este tipo de cosas no estaban rigurosamente probadas, pero <a href= arxiv.org/abs/1004.3944>1004.3944</a > puede ser útil en este sentido.
@AramHarrow: ¡Gracias por estos maravillosos comentarios! Estuve ocupado realizando un experimento durante las últimas dos semanas (de ahí la lentitud en responder), pero estoy de acuerdo con la idea general de sus comentarios y, por lo tanto, obtuve una mejor apreciación de (lo que probablemente sea) el orden. de los límites superior e inferior de la capacidad del canal que (respectivamente) logran los sensores de estado cat y los sensores de estado coherente y, por lo tanto, lo calificaron como una "respuesta".

La respuesta de Aram parece perfecta, pero dado que también está preguntando sobre el caso de los sistemas de dimensiones superiores, permítame agregar que hay una manera simple de obtener límites superior e inferior algo no triviales en C ( j S , j L ) . Como límite inferior, simplemente puede sintetizar una puerta arbitraria que implemente la comunicación entre los sistemas cuánticos (para obtener un algoritmo explícito sobre la construcción de puertas arbitrarias, consulte Nielsen et al, Phys. Rev. A 66, quant-ph/0109064 ).

El teorema de Margolus-Levitin proporciona un límite superior no trivial . Su artículo ( quant-ph/9710043 ) da el número máximo de estados ortogonales por los que puede pasar un sistema cuántico en un período de tiempo dado, o por el contrario, un tiempo mínimo (en función de la energía) requerido para pasar del estado inicial a un estado ortogonal (que es necesariamente un límite inferior en el tiempo requerido para transmitir perfectamente un bit).

Gracias Joe... tomará un par de días procesar estas referencias. Un desafío con la construcción de Nielsen es "gate to rate", es decir, la construcción no limita la energía asociada a los recursos hamiltonianos; por lo tanto, no es evidente cómo extraer un límite de capacidad de canal de ningún tipo. Un desafío con el teorema de Margolus-Levitan es que las operaciones asociadas al límite son (aparentemente) no locales; por lo tanto, el límite superior (que obtengo al aplicarlo) no es físicamente optimista. Tal vez haya formas de sortear estas obstrucciones; esto es lo que tomará un tiempo para pensar.
Informe de progreso: los esfuerzos preliminares para construir canales de comunicación de dos giros concretos que se acerquen al límite de Margolus-Levitin han fracasado (hasta ahora) en la restricción de operación local. Esto contribuye a una apreciación (de mi parte) de que la respuesta de Aram Harrow es correcta al afirmar que "Esta [capacidad del canal de dos qudit] es una pregunta abierta", en gran parte porque la restricción de la localidad de operación tiene consecuencias profundas y sutiles. . Un beneficio emergente es una mayor apreciación de que las restricciones QIT fundamentales están asociadas a fuentes de fotones individuales y detectores locales eficientes.
Informe de progreso II: mediante una adaptación del razonamiento físico que motivó el teorema de Margolus-Levitin, parece factible (pero todavía estoy revisando los detalles) construir un canal explícito de dos qudit que tenga capacidad
C ( j S , j L ) = O ( j S j L )
Este resultado concuerda muy bien con los límites metrológicos conocidos. En algún momento del día siguiente (a medida que gane confianza en la construcción), editaré la pregunta para ofrecer una recompensa por una prueba de que esto es tan grande. O el límite de capacidad del canal es estrecho. ¡Muchas gracias a ambos, Joe y Aram! :)
Se puede pensar que el artículo de Bravyi que mencioné (0704.0964) aplica el principio de Margolus-Levitin al límite superior de la tasa de enredo. El límite es constante * norma del hamiltoniano * dimensión logarítmica. (Tenga en cuenta que este es un límite superior para la tasa de comunicación. Además, los factores dimensionales son inevitables tanto para la tasa de comunicación como para la tasa de entrelazamiento, porque la transmisión de un mensaje de n bits puede significar una única rotación de pi/2). Desafortunadamente, su argumento es incompleto porque No sé cómo controlar cuántas ancillas pueden aumentar la capacidad.
@AramHarrow: Buen punto. Sin embargo, parece que puede limitar la dimensionalidad efectiva a través del número de divisiones en los valores propios de los hamiltonianos locales.
@AramHarrow: Para explicar lo que quiero decir: imagina que tienes dos sistemas spin-1/2. Luego, su acoplamiento induce como máximo 4 espacios propios distintos que toman una fase relativa, independientemente del número de ancillae, o cómo se preparan antes del acoplamiento. Dado que la transferencia de información en periodos de libre evolución está totalmente determinada por las fases relativas entre estos 4 espacios, esto es idéntico a lo que se puede lograr con dos giros. Entonces, la única sutileza proviene de cómo puede combinar múltiples usos de dicho canal.
Estos comentarios son muy útiles. Para los no especialistas como yo, un punto de confusión posiblemente resoluble (puede haber más de los cuales no estoy al tanto) es que para C ( j S , j L ) la capacidad del canal y Γ ( j S , j L ) la tasa de enredo (definida como, por ejemplo, en 0704.0964 de Bravyi) es plausible, pero una referencia sería bienvenida, que
C ( j S , j L ) = O ( Γ ( j S , j L ) )
pero ¿por qué es esto grande- O enlazado plausiblemente saturado? ¿No podría sobrestimar groseramente C debido a restricciones de operación local?
@JoeFitzsimons, como seguimiento, una búsqueda de la obra de 642 páginas de Mark Wilde From Classical to Quantum Shannon Theory (1106.1445v2) no encuentra ninguna discusión sobre "tasas de enredo" por la sencilla razón de que "Hamiltonian" tampoco se menciona en ninguna parte (el noción "unitario" sirviendo en su lugar). Como contraste de estilo, en la ingeniería de sistemas cuánticos, los hamiltonianos proporcionados por la naturaleza suelen ser una restricción de recursos inflexible, por ejemplo, en la obtención de imágenes de moléculas biológicas, el punto de partida del diseño es el hamiltoniano de espín dipolo-dipolo que la naturaleza preinstala; por lo tanto, traducir la teoría a la práctica puede ser un desafío.
@JohnSidles: Para ser honesto, estoy lejos de ser un experto en esto. Aram probablemente pueda darle respuestas mucho más confiables sobre esto que yo.
¿Qué límite de capacidad del canal de Shannon está asociado a dos giros acoplados?
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