¿Qué le enseñó GH Hardy a Ramanujan?

Para conocer los antecedentes de Ramanujan, consulte ¿Cómo aprendió Ramanujan a hacer matemáticas? Según el propio Hardy, no le enseñó ningún tema, solo la idea y quizás algunos métodos de prueba, vea su conferencia Indian Mathematician Ramanujan . Ramanujan recogió fragmentos esporádicos de matemáticas modernas de varias fuentes de las que Hardy no está muy seguro, aparte de la Sinopsis de resultados elementales en matemáticas puras y aplicadas de Carr . Lo que aprendió, con lagunas importantes, de teoría de números clásica y analítica, funciones elípticas, análisis asintótico, series hipergeométricas y fracciones continuas, fue un autoaprendizaje que Hardy no se acredita a sí mismo:

Llevaba un hándicap imposible, un hindú pobre y solitario que enfrentaba su cerebro con la sabiduría acumulada de Europa... Era imposible enseñarle sistemáticamente, pero fue absorbiendo gradualmente nuevos puntos de vista. En particular, aprendió lo que se entendía por prueba, y sus artículos posteriores, aunque en cierto modo tan extraños e individuales como siempre, se leen como los trabajos de un matemático bien informado. Sin embargo, sus métodos y sus armas permanecieron esencialmente iguales. Uno hubiera pensado que un formalista como Ramanujan se habría deleitado con el teorema de Cauchy, pero prácticamente nunca lo usó, y el testimonio más asombroso de su genio formal es que nunca pareció sentir la necesidad de él en lo más mínimo.

[...] Por ejemplo, en la teoría analítica de los números había, en cierto sentido, descubierto mucho, pero estaba muy lejos de comprender las dificultades reales del tema. Y hay algo de su trabajo, principalmente en la teoría de funciones elípticas, sobre el cual aún queda cierto misterio; no es posible, después de todo el trabajo de Watson y Mordell, trazar la línea entre lo que pudo haber recogido de alguna manera y lo que debe haber encontrado por sí mismo... Aquí debo admitir que tengo la culpa, ya que hay mucho que nos gustaría saber ahora y que podría haber descubierto con bastante facilidad... Ni siquiera le pregunté si (como creo que debió haber hecho) había visto las funciones elípticas de Cayley o de Greenhill.

[…] La teoría de los números primos de Ramanujan estaba viciada por su desconocimiento de la teoría de funciones de variable compleja. Era (por así decirlo) lo que podría ser la teoría si la función Zeta no tuviera ceros complejos. Su método dependía de un uso generalizado de series divergentes... Era de esperar que sus demostraciones fueran inválidas. Pero los errores fueron más profundos que eso, y muchos de los resultados reales fueron falsos. Había obtenido los términos dominantes de las fórmulas clásicas, aunque por métodos inválidos; pero ninguno de ellos son aproximaciones tan cercanas como él suponía.

[...] No creo que Ramanujan descubriera mucho en la teoría clásica de los números, o de hecho que alguna vez supo mucho. No tuvo conocimiento en absoluto, en ningún momento, de la teoría general de las formas aritméticas. Dudo que conociera la ley de la reciprocidad cuadrática antes de venir aquí. Las ecuaciones diofánticas deberían haberle ido bien, pero hizo comparativamente poco con ellas, y lo que hizo no fue lo mejor que pudo.

[...] En álgebra, el trabajo principal de Ramanujan se ocupó de las series hipergeométricas y las fracciones continuas (utilizo la palabra álgebra, por supuesto, en su sentido antiguo). Estos temas le convenían exactamente, y aquí fue sin duda uno de los grandes maestros... En cuanto a las series hipergeométricas se puede decir, a grandes rasgos, que redescubrió la teoría formal, expuesta en el tratado de Bailey, tal como se conocía hasta 1920. Hay algo al respecto en Carr, y más en el Álgebra de Chrystal, y sin duda él comenzó con eso.

[...] En el análisis propiamente dicho, el trabajo de Ramanujan es inevitablemente menos impresionante, ya que no conocía la teoría de las funciones, y no se puede hacer un análisis real sin ella, y dado que el lado formal del cálculo integral, que fue todo lo que pudo aprender de Carr o cualquier otro libro, ha sido trabajado tan repetida y tan intensamente. Aún así, Ramanujan redescubrió un número asombroso de las identidades analíticas más bellas.

La sinopsis de los resultados elementales en matemáticas puras y aplicadas de Carr antes mencionada tuvo un gran impacto en Ramanujan temprano en la vida:

Fue un libro de un tipo muy diferente, la Sinopsis de Carr, que primero despertó todos los poderes de Ramanujan... El libro no es en ningún sentido muy bueno, pero Ramanujan lo ha hecho famoso, y no hay duda de que lo influenció profundamente. y que su conocimiento marcó el verdadero punto de partida de su carrera... Carr tiene secciones sobre las materias obvias, álgebra, trigonometría, cálculo y geometría analítica, pero algunas secciones se desarrollan de manera desproporcionada, y particularmente el lado formal del cálculo integral. . Este parece haber sido el tema predilecto de Carr, y el tratamiento que se le da es muy completo y, a su manera, definitivamente bueno. No hay teoría de funciones... Lo que es más sorprendente, a la vista de los gustos del propio Carr y del trabajo posterior de Ramanujan, es que no hay funciones elípticas.

Yo no confiaría en la evaluación de Hardy; después de todo dijo:

llevaba un hándicap imposible, un hindú pobre y solitario que enfrentaba su cerebro con la sabiduría acumulada de Europa... Era imposible enseñarle sistemáticamente, pero fue absorbiendo gradualmente nuevos puntos de vista.

Dado que Ramanujan, por su propia admisión, había aprendido matemáticas de los libros de texto europeos, como la Sinopsis de Carr, difícilmente se puede decir que estaba "enfrentándose a la sabiduría acumulada de Europa"; además, su decisión de mudarse a Europa demostró que estaba interesado en involucrarse en las matemáticas europeas. Diría que cuando se mudó a Europa ya era un matemático de pleno derecho con sus propias ideas sobre cómo hacer matemáticas y, lo que es más importante, lo que le interesaba.

¿Qué le enseñó GH Hardy a Ramanujan?

Muy poco, lo que Hardy le dio a Ramanujan fue la entrada en el medio matemático que era lo más importante en ese momento en la carrera matemática de Ramanujan.