¿Qué información da la entropía de Von Neumann para estados mixtos?

La entropía de von Neumann se define como

S = − T r ( ρ en ⁡ ρ )
Se puede utilizar para medir el entrelazamiento entre dos subsistemas, siempre que el sistema total esté en estado puro .

1) ¿Qué información da la entropía de Von Neumann si el sistema total está en un estado mixto ? Como NorbertSchuch explicó brevemente en la publicación ¿Qué tan útil es la entropía de entrelazamiento? debería "medir la entropía clásica del subsistema, las correlaciones clásicas con el otro sistema y el entrelazamiento". ¿Alguien puede dar un ejemplo y una explicación más profunda?

2) Si se quiere calcular el entrelazamiento entre dos subsistemas de un sistema que se encuentra en un estado mixto , ¿qué medida se debe emplear? Supongo que tal medida debería, por supuesto, filtrar el desorden clásico (es decir, puramente estadístico). ¿Es correcto?

Con respecto a su segunda pregunta, para estados mixtos, el criterio de Peres-Horodecki proporciona un criterio necesario pero no suficiente para que un estado sea separable. En resumen, establece que si la transposición parcial del operador de densidad tiene valores propios negativos, entonces el estado no puede ser separable. Para ciertas dimensiones, como 2x2 y 2x3, este criterio también es suficiente, por lo que puede usarse como una prueba definitiva de entrelazamiento en estos casos.
Relacionado con mi comentario anterior, la negatividad norte proporciona una medida de entrelazamiento que se puede aplicar a estados mixtos. En palabras, es la suma de los valores absolutos de los valores propios negativos de ρ T A . Por supuesto, dado que el criterio de PH generalmente no es suficiente, norte puede ser 0 incluso para estados entrelazados, por lo que no es una medida de entrelazamiento perfecta. Hasta donde yo sé, la razón principal por la que recibe atención es porque es fácil de calcular, a diferencia de muchas otras medidas de entrelazamiento más sofisticadas.

Respuestas (1)

En primer lugar hay que distinguir la incertidumbre clásica de la cuántica. La matriz de densidad se puede escribir como

ρ = ∑ w i | α i ⟩ ⟨ α i |
donde el w i pueden ser las probabilidades clásicas, si no puedes decir exactamente dónde está el estado en el espacio de Hilbert, o las cuánticas, si no quieres (o no puedes) escribir el estado como un vector definido del espacio de Hilbert .

Clásico

Como ejemplo, tome un sistema de dos niveles y considere el caso en el que clásicamente no puede decir en cuál de los dos estados se encuentra el sistema. En ese caso, su matriz de densidad será

ρ = 1 2 | 0 ⟩ ⟨ 0 | + 1 2 | 1 ⟩ ⟨ 1 |
y tu entropía será S = − T r ( ρ registro ⁡ ρ ) = registro ⁡ 2 . Esta entropía es una medida de su incertidumbre clásica sobre el estado y no tiene nada que ver con la incertidumbre cuántica.

Cuántico

Ahora considere un sistema compuesto por los dos sistemas de dos niveles de arriba cada uno con su espacio de Hilber H 1 y H 2 . Si desea escribir el espacio de Hilbert total, debe hacer el producto tensorial y tendrá algunos vectores que no se pueden escribir en los espacios de Hilbert separados. Un ejemplo famoso es uno de los estados de Bell.

| ψ ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ + | 1 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ )   .
Si bien un estado total siempre se puede escribir en base, donde su estado es uno de la base misma, por lo que su matriz de densidad será como
ρ = ( 1 . . . 0 . . . . . 0 . . . 0 )
y su entropía ρ = − T r ( ρ registro ⁡ ρ ) = 0 , esto no es cierto para un solo subsistema del estado de Bell para el cual la matriz de densidad se obtendrá con el operador de traza en la base de Hilber del otro subsistema que actúa sobre la matriz de densidad total:
ρ A = T r B ( ρ ) = 1 2 ( 1 0 0 1 )   .

En este caso la entropía de Von Neumann será S = − T r ( ρ registro ⁡ ρ ) = registro ⁡ 2 . Esta entropía mide las correlaciones cuánticas entre los dos subsistemas y siempre son diferentes de cero si el estado que está considerando interactúa de alguna manera con otra cosa (otro subsistema o un entorno).

Desde el escenario clásico y el máximo entrelazado, puede ver que no hay diferencias entre las dos matrices de densidad y, por lo tanto, dada una matriz de densidad arbitraria, no tiene un criterio para distinguir los dos casos y la entropía de Von Neumann resultará igual. Se puede demostrar que distinguir una matriz de densidad entrelazada o no entrelazada es un problema NP-difícil conocido como Problema de separabilidad cuántica .

Muchas gracias por esta explicación tan detallada. ¿Puede explicar qué da la entropía de Von Neumann de un subsistema reducido , si el sistema total está en un estado mixto? ¿Es una mezcla de conceptos como entrelazamiento y correlación clásica?
Dado que un sistema total es siempre puro por definición (en el sentido de que se puede escribir como un vector del espacio total de Hilber), solo se puede mezclar desde el punto de vista clásico. Aparte de que sí, la entropía de una matriz de densidad reducida contiene correlaciones clásicas y cuánticas.
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