¿Qué importancia tiene el teorema de Liouville para la mecánica estadística?

Porque haces mecánica estadística de equilibrio . En la teoría de conjuntos habitual asociamos a un sistema (un macroestado) un gran número de microestados correspondientes, cada microestado es un punto en el espacio fase, ese punto se llama punto representativo. Ahora quieres estudiar cómo se mueven estos puntos en el espacio de fase.

En primer lugar, la situación de equilibrio del sistema es la situación en la que el sistema está representado por un conjunto estacionario. Estacionario significa que la función de densidad$\rho(q,p;t)$de los puntos representativos no depende explícitamente del tiempo:

$$\frac{\partial{\rho}}{\partial t}=0 \tag{1}$$

Ahora, el teorema de Liouville te dice que la densidad local de los puntos representativos, vista por un observador que se mueve con un punto representativo, permanece constante en el tiempo:

$$\frac{d \rho}{d t} = \frac{\partial{\rho}}{\partial t} + [\rho,H] =0 \tag{2}$$

Donde el último término es el corchete de Poisson entre la función de densidad y la hamiltoniana.

Para satisfacer a ambos$(1)$y$(2)$necesitas

$$[\rho,H] =0$$

Entonces, el teorema de Lioville de alguna manera te dice que si quieres hacer mecánica estadística de equilibrio , el corchete de Poisson entre la función de densidad y el hamiltoniano tiene que ser nulo. Es un requisito que debe cumplirse, si no es así, no estás haciendo mecánica estadística de equilibrio, estás haciendo otra cosa.

Es extremadamente importante si quieres entender la razón detrás de la paradoja de la irreversibilidad . Básicamente, la mecánica clásica es microscópicamente reversible. Entonces, ¿por qué nunca vemos la reversibilidad macroscópica para ciertos experimentos? ¿Por qué podemos ver que un vaso se hace añicos pero los pedazos nunca vuelven a unirse en el vaso original? El teorema de Liouville lo explica.

Establece que el (hiper) volumen en el espacio de fase se conserva.

Dejar$|\Gamma|$sea ​​el tamaño del conjunto, a saber$\iiiint_V \prod_{i=1}^{N} dq_i dp_i$Dónde$q_i$son las coordenadas generalizadas y$p_i$sus momentos.

Piense, por ejemplo, en el caso de un recipiente con una pared en el medio. Un lado está lleno de gas mientras que la otra mitad está vacía (situación 1). Ahora quitemos la pared para que el gas pueda expandirse hacia el otro lado (situación 2).

Ahora hay el doble de espacio disponible, por lo que la coordenada correspondiente puede tomar el doble de sus valores. Las otras coordenadas siguen siendo las mismas y los momentos vuelven a no tener restricciones.

Esto está bien para una partícula. Ahora, para el número impensable de partículas en 1 mol de gas ($\sim 6\cdot 10^{23}$partículas), el doble de ese número es enorme.

Entonces, el "tamaño" de la situación 1 es tan pequeño en comparación con la situación 2 que es totalmente insignificante.

Conclusión: la reversibilidad macroscópica en esos casos ES posible, pero no es probable en absoluto, ya que$\Gamma_1|/|\Gamma_2|\ll$.