Diferencias entre operadores simétricos, hermitianos, autoadjuntos y esencialmente autoadjuntos

Aquí está la puñalada de un matemático en una respuesta. La versión tl; dr: "simétrica" ​​y "autoadjunta" son lo mismo para operadores acotados , mientras que son lo mismo para operadores no acotados solo en la medida en que el efecto Aharonov--Bohm no existe.

1. Un operador densamente definido$A$en tu espacio Hilbert$H$es simétrica si para cualquier vector$\xi$y$\eta$en el dominio$D(A)$de$A$,$\langle \xi, A\eta \rangle = \langle A\xi, \eta \rangle$. Esto, en particular, implica que$D(A) \subseteq D(A^\ast)$, dónde$D(A^\ast)$denota el dominio de$A^\ast$.
2. Un operador simétrico$A$es autoadjunto (o equivalentemente hermitiano , aunque algunos aparentemente definen un operador hermitiano como un operador autoadjunto acotado) si$A = A^\ast$como operadores ilimitados, es decir,$D(A) = D(A^\ast)$ y para cualquier$\xi \in D(A) = D(A^\ast)$,$A^\ast \xi = A \xi$. Esto es equivalente a decir que$A$es simétrico y $D(A) = D(A^\ast)$. Tenga en cuenta que los operadores autoadjuntos no tienen por qué estar definidos en todas partes.
3. Un operador autoadjunto$A^\prime$se llama una extensión autoadjunta de un operador simétrico dado$A$si$D(A) \subseteq D(A^\prime)$y si$A^\prime \xi = A\xi$para cualquier$\xi \in D(A)$. Después,$A$se llama esencialmente autoadjunto si admite una única extensión autoadjunta, en cuyo caso incluso los matemáticos estamos bastante contentos de fusionar$A$con su exclusiva extensión autoadjunta.

De acuerdo, entonces, ¿por qué los físicos teóricos deberían preocuparse por todo este asunto, dado que muchos de los operadores que usan (p. ej., casi cualquier hamiltoniano que le interese en la línea o en todos los$3$-espacio, si no recuerdo mal) se puede demostrar que es esencialmente auto-adjunto? Bueno, en términos generales, cada vez que necesita preocuparse por imponer diferentes condiciones de contorno, es muy posible que en realidad se esté preocupando por diferentes extensiones autoadjuntas sin saberlo.

Por ejemplo, el operador de cantidad de movimiento$i\tfrac{d}{dx}$en el intervalo$[0,1]$(o su intervalo finito de elección) es simétrico pero no esencialmente autoadjunto; tiene un círculo completo de diferentes extensiones autoadjuntas, cada una de las cuales proviene precisamente de imponer una condición de límite cuasi-periódica de la forma$f(0) = e^{2\pi i \beta}f(1)$. Estas, a su vez, no son curiosidades matemáticas ociosas, sino más bien el resultado/manifestación matemática del efecto Aharonov-Bohm; para obtener detalles, consulte, por ejemplo, http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~helling/pextension.pdf , aunque estoy seguro de que la sección correspondiente de Reed--Simon también discutirá esto.

Por supuesto, en el momento en que se trata más bien de operadores acotados (por ejemplo, operadores discretos de Schroedinger), entonces no hay diferencia alguna entre ser simétrico y ser autoadjunto.

Sí, para los físicos es lo mismo. Intento resumir las diferencias de las fuentes matemáticas:

Un operador A verificando$\langle Au,v\rangle = \langle u,Av\rangle$se llama simétrico.

En este caso, el dominio de definiciones verifica$D(A) \subset D(A^*)$. Entonces, en general, no hay igualdad entre$A$y$A^*$, porque los dominios de definición son diferentes.

Un operador es hermitiano si es acotado y simétrico.

Un operador autoadjunto es por definición simétrico y definido en todas partes, los dominios de definición de$A$y$A^*$son iguales,$D(A) = D(A^*)$, así que de hecho$A = A^*$.

Un teorema (teorema de Hellinger-Toeplitz) establece que un operador simétrico definido en todas partes está acotado.

También hay una sutileza, es decir, para cada operador hermitiano, puedes construir una extensión de este operador, que es autoadjunto.