¿Operadores ilimitados definidos solo en el subdominio denso del espacio de Hilbert en QM?

Algunos operadores autoadjuntos relevantes en QM, como los proyectores ortogonales, están realmente acotados, pero estos son muy pocos en QM. La acotación es equivalente al hecho de que el rango de valores del observable, es decir, el espectro$\sigma(A)$del operador asociado$A$, está acotado en vista de la identidad del radio espectral,

$$||A||= \sup\{|\lambda| \:|\: \lambda \in \sigma(A)\}\:.$$ Sin embargo, la mayoría de los observables alcanzan valores arbitrariamente grandes (piense en los observables de posición o momento).

A su vez, la definición de operador adjunto y el teorema del gráfico cerrado prueban que la acotación de un operador autoadjunto$A :D(A) \to \cal H$es equivalente a$D(A)=\cal H$. Esto explica por qué la mayoría de los observables en QM están representados por operadores autoadjuntos cuyo dominio (siempre denso, de lo contrario el adjunto no está definido) no coincide con todo el espacio de Hilbert.

En cuanto a la invariancia del dominio, es decir, la propiedad

$$A(D(A))\subset D(A)$$ el texto está un poco mal, ya que el valor esperado $<A>_\psi$no se ve afectado por la no invariancia del dominio. Satisface, para un estado puro definido por el vector unitario $\psi$, $$<A>_\psi = \langle \psi|A \psi \rangle\:.\tag{0}$$ ves eso $\psi \in D(A)$es suficiente para garantizar la validez de esa identidad.

Sobre las incertidumbres $\Delta A_\psi$, el texto citado puede ser correcto ya que satisfacen

$$\Delta A_\psi^2 = \langle \psi|A^2 \psi \rangle - \langle \psi|A \psi \rangle^2\tag{1}$$ y ves que la primera termia del lado derecho necesita eso $A(A\psi)$estar bien definida, es decir $A\psi \in D(A)$para $\psi \in D(A)$. Aquí, en cambio, importa la invariancia del dominio.

Finalmente, en cuanto a las relaciones de conmutación , ya que involucran composición de operadores$AB$y$BA$, las propiedades de invariancia cruzada correspondientes deben cumplir:

$$A(D(B)) \subset D(A)\quad \mbox{and}\quad A(D(A)) \subset D(B)\:.$$

Algunos comentarios finales están en orden. Estrictamente hablando, (0) no es la definición del valor esperado de$A$y (1) no es la definición de incertidumbre de$A$, en estado puro definido por el vector unitario$\psi$, también si son propiedades importantes. Las definiciones verdaderas respectivamente son

$$<A>_\psi := \int_{\sigma(A)} \lambda d\langle\psi|P^{(A)}(\lambda)\psi\rangle\tag{2}$$ y $$\Delta A_\psi^2 := \int_{\sigma(A)} (\lambda- <A>_\psi)^2 d\langle\psi|P^{(A)}(\lambda)\psi\rangle\tag{3}$$ donde he introducido la medida espectral de $A$, $P^{(A)}$. El lado derecho de (3) está bien definido siempre que $$\int_{\sigma(A)} \lambda^2 d\langle\psi|P^{(A)}(\lambda)\psi\rangle < +\infty\tag{4}$$ y esta es otra forma de escribir $\psi \in D(A)$. Entonces, incluso en este caso, la invariancia de $D(A)$no es necesario. Obviamente (1) es válido a partir de (3) cuando $\psi \in D(A^2)$y es falso en general aunque se mantiene en una forma más débil $$\Delta A_\psi^2 = \langle A\psi|A \psi \rangle - \langle \psi|A \psi \rangle^2\tag{1'}\:.$$ Similarmente $<A>_\psi$está bien definido si $\psi \in D(\sqrt{|A|})$que es una condición más débil que $\psi \in D(A)$.

El dominio de las funciones de Hermite es invariante bajo la acción del oscilador armónico hamiltoniano y los operadores de posición y momento.

Es cierto que para operadores no acotados, "los valores esperados, las incertidumbres y las relaciones de conmutación no están bien definidas en el conjunto de$H$pero esto no se debe a la falta de invariancia.