¿Por qué un operador hermitiano es una "variable aleatoria cuántica"?

Voy a tratar de explicar por qué y cómo los operadores de densidad en la mecánica cuántica corresponden a variables aleatorias en la teoría de probabilidad clásica, algo que ninguna de las otras respuestas ha intentado hacer.

Trabajemos en un espacio cuántico bidimensional. Usaremos la notación bra-ket de física estándar. Un estado cuántico es un vector columna en este espacio, y representaremos un vector columna como$\alpha|0\rangle + \beta |1 \rangle.$Un vector fila es$\gamma \langle 0 | + \delta \langle 1 |\,$.

Ahora, podrías pensar que una distribución de probabilidad es una medida de estados cuánticos. Puedes pensarlo de esa manera, pero resulta que es demasiada información. Por ejemplo, considere dos distribuciones de probabilidad en estados cuánticos. Primero, tomemos la distribución de probabilidad

$$\begin{array}{cc} |0\rangle & \mathrm{with\ probability\ }2/3,\\ |1\rangle & \mathrm{with\ probability\ }1/3. \end{array}$$

A continuación, tomemos la distribución de probabilidad

$$\begin{array}{cc} \sqrt{{2}/{3}}\,\left|0\right\rangle +\sqrt{1/3}\, \left|1\right\rangle & \mathrm{with\ probability\ }1/2,\\ \sqrt{{2}/{3}}\,\left|0\right\rangle -\sqrt{1/3}\, \left|1\right\rangle & \mathrm{with\ probability\ }1/2. \end{array}$$

Resulta que estas dos distribuciones de probabilidad son indistinguibles. Es decir, cualquier medida que haga en uno dará exactamente la misma distribución de probabilidad de resultados que haga en el otro. La razón de eso es que

$$\frac{2}{3} |0\rangle\langle0| +\frac{1}{3}|1\rangle\langle 1|$$ y $$\frac{1}{2}\left(\sqrt{2/3}\left|0\right\rangle +\sqrt{1/3}\, \left|1\right\rangle\right) \left(\sqrt{2/3}\left\langle 0\right| +\sqrt{1/3}\, \left\langle 1\right|\right) +\frac{1}{2}\left(\sqrt{{2}/{3}}\left|0\right\rangle -\sqrt{1/3}\, \left|1\right\rangle\right) \left(\sqrt{2/3}\left\langle 0\right| -\sqrt{1/3}\, \left\langle 1\right|\right)$$ son la misma matriz.

Es decir, una distribución de probabilidad en estados cuánticos es una distribución demasiado especificada y es bastante engorrosa trabajar con ella. Podemos predecir cualquier resultado experimental para una distribución de probabilidad en estados cuánticos si conocemos el operador de densidad correspondiente y muchas distribuciones de probabilidad producen el mismo operador de densidad. Si tenemos una densidad de probabilidad$\mu_v$sobre estados cuánticos$v$, podemos predecir cualquier resultado experimental a partir del operador de densidad

$$\int v v^* d \mu_v \,.$$

Entonces, para la teoría de la probabilidad cuántica, en lugar de trabajar con distribuciones de probabilidad en estados cuánticos, trabajamos con operadores de densidad.

Los estados clásicos corresponden a vectores ortonormales en el espacio de Hilbert, y las distribuciones de probabilidad clásicas corresponden a operadores de densidad diagonal.

La mecánica cuántica es de hecho una teoría de probabilidad, pero es una teoría de probabilidad no conmutativa .

Entonces, no se trata solo de tener medidas firmadas/complejas, sino realmente de tener un marco probabilístico no conmutativo. La mecánica cuántica se desarrolló, históricamente, antes que las teorías de probabilidad no conmutativa y creo que la gente en probabilidad modeló la teoría de probabilidad no conmutativa sobre la mecánica cuántica y no al revés. Un ejemplo matemático de probabilidad no conmutativa es la probabilidad libre introducida por Voicolescu (es similar a la mecánica cuántica, pero en mecánica cuántica algunos de los axiomas de Voicolescu sobre la libertad no son necesarios).

La idea de la probabilidad no conmutativa es ampliar la teoría de la probabilidad habitual explotando el hecho de que las variables aleatorias suelen formar un álgebra abeliana. Así que empiezas directamente desde un$C^*$o$W^*$álgebra$\mathfrak{A}$de variables aleatorias, posiblemente no conmutativas, e introducir medidas (no conmutativas, complejas) como el dual topológico$\mathfrak{A}'$. La interpretación en términos de mecánica cuántica es que los estados son las probabilidades no conmutativas, es decir, los elementos positivo y normal uno de$\mathfrak{A}'$, mientras que los observables se toman generalmente como los elementos autoadjuntos afiliados a$\mathfrak{A}$(es decir, posiblemente operadores ilimitados$a$cuya familia espectral$\bigl(P_{t}(a)\bigr)_{t\in\mathbb{R}}\subset\mathfrak{A}$). Los conceptos usuales de probabilidad se extienden, mutatis mutandis , a este marco; por ejemplo, la evaluación$\mathbb{E}_\omega(a\in [0,1])$, dando la probabilidad de encontrar un valor en el intervalo$[0,1]$para lo observable$a$, en el estado$\omega$, es dado por$\omega\bigl(P_1(a)-P_0(a)\bigr)$.

Ciertamente podría modelar cualquier cuántico observable como una variable aleatoria.

El problema surge cuando tiene múltiples observables, que podría intentar modelar como variables aleatorias clásicas con alguna distribución conjunta. A partir de esta distribución conjunta, puede calcular varias probabilidades (como$\textrm{Prob}(Y\neq X)$, por ejemplo), de acuerdo con las reglas estándar que aprendió en sus clases de probabilidad de pregrado.

El problema es que, en general, ninguna distribución conjunta puede producir las probabilidades predichas por la mecánica cuántica (y observadas en el laboratorio).

Por ejemplo, para variables aleatorias clásicas, es fácil probar que no importa cuál sea la distribución conjunta de$X,Y$y$Z$puede ser, tienes

$$\textrm{Prob}(X\neq Z)\leq \textrm{Prob}(X\neq Y)+\textrm{Prob}(Y\neq Z)$$

Para los observables cuánticos, tales desigualdades pueden violarse. Por lo tanto, necesita un formalismo diferente.

Si bien es cierto que la Teoría de la probabilidad cuántica (QPT) es un marco completamente diferente de la Teoría de la probabilidad clásica (Kolmogorovian) (CPT) (específicamente porque la estructura del evento no es booleana y la estructura de la variable aleatoria no es conmutativa), todavía puede identificar suficiente similitud formal para tomar prestada la terminología clásica. En particular, aún podemos dar una respuesta satisfactoria a la pregunta principal del OP, que en mi lectura es:

¿Esta variable aleatoria [es decir, el operador hermitiano] está relacionada de alguna manera con mi definición ignorante [es decir, la función medible]?

La respuesta que veremos es un rotundo sí. La razón por la que esto no es obvio es porque los físicos no tienden a expresar el formalismo QM en un lenguaje probabilístico. Así que hagámoslo ahora...

Primero tenga en cuenta que mientras que el espacio medible subyacente en CPT tiene la forma$\langle\Omega,\Sigma(\Omega)\rangle$, el espacio medible subyacente en QPT tiene la forma$\langle\mathscr{H},\Pi(\mathscr{H})\rangle$, para algún espacio de Hilbert complejo$\mathscr{H}$y celosía de proyección correspondiente$\Pi(\mathscr{H})$.

En segundo lugar, tenga en cuenta que mientras usamos una medida de Kolmogorov$\mu$para hacer el espacio de probabilidad clásico$\langle\Omega,\Sigma(\Omega),\mu\rangle$, usamos una medida de Gleason$\gamma$para hacer el espacio de probabilidad cuántica$\langle\mathscr{H},\Pi(\mathscr{H}),\gamma\rangle$. (Un resultado llamado Teorema de Gleason establece la relación entre estas medidas y los operadores de densidad convencionales).

Pero, ¿qué pasa con las variables aleatorias?

Aquí debemos ser un poco astutos y tener en cuenta que cuando se trata de calcular probabilidades en CPT, el tipo que hace todo el trabajo no es realmente la función medible.$X : \Omega \to \mathbb{R}$, sino su inversa, considerada como una función de conjunto (llamémosla$\sigma$):

$$\sigma: \mathscr{B}(\mathbb{R}) \ni \bigtriangleup \mapsto X^{-1}(\bigtriangleup) \in \Sigma(\Omega)$$

Específicamente, si desea calcular la probabilidad de$X$tener un valor en algún subconjunto$\bigtriangleup\in\mathscr{B}(\mathbb{R})$, primero vuelve a colocar ese subconjunto en$\Sigma(\Omega)$y luego aplicar$\mu$.

En otras palabras, en lugar de trabajar con la variable aleatoria$X$, podemos trabajar con su hermana$\sigma : \mathscr{B}(\mathbb{R}) \to \Sigma(\Omega)$, que satisface los axiomas de lo que se denomina una medida de valor fijo (SVM).

¿Cuál es el problema de esta formulación alternativa de una variable aleatoria clásica?

Bueno, esta formulación tiene una analogía perfecta en la mecánica cuántica; a saber, el de una medida de valor de proyección (PVM), que es un mapa$\pi : \mathscr{B}(\mathbb{R}) \to \Pi(\mathscr{H})$, satisfaciendo algunos axiomas simples análogos a las propiedades de una SVM (por ejemplo, los conjuntos disjuntos de Borel se asignan a los proyectores ortogonales).

Pero ahora podemos emplear el teorema espectral del análisis funcional para construir un operador autoadjunto equivalente$A : \mathscr{H} \to \mathscr{H}$para este PVM. Es el operador autoadjunto$A$eso resulta ser más conveniente desde el punto de vista computacional para calcular estadísticas que el PVM subyacente, que se interpreta más fácilmente como una variable aleatoria.

He omitido algunos detalles que puede encontrar fácilmente en cualquier buen libro sobre análisis funcional, pero la conclusión principal es esta. Puede expresar la versión de QM que tradicionalmente se enseña en los cursos de física con ropas más teóricas de la medida, y cuando lo hace, es lo más natural del mundo pensar en un operador de densidad como una medida de probabilidad y un operador autoadjunto como una variable aleatoria

(Por cierto, su suposición de que QM trata con probabilidades negativas es incorrecta. Las medidas de Gleason de este algoritmo admiten que todas generan probabilidades ordinarias entre 0 y 1, inclusive, que se utilizan para predecir frecuencias relativas de resultados experimentales según la regla estándar de Born. )

Creo que es un error pensar que la probabilidad clásica tiene más sentido que la mecánica cuántica, con sus cálculos de probabilidad "peculiares".

Voy a ser un poco travieso aquí y haré un ataque amistoso a tu primer párrafo: ¿ realmente tiene sentido?

Por supuesto que tiene mucho sentido como una definición teórica de medida , pero ¿cómo sabes que representa probabilidades para eventos aleatorios del mundo real? ¿Qué significa "probabilidad"? ¿Adopta usted un punto de vista frecuentista o subjetivista al dar sentido a la palabra ? Creo que solo "entendemos" la probabilidad clásica en la medida en que simplemente estamos acostumbrados a ella.

La forma en que el primer párrafo tiene sentido se debe, creo, principalmente a Kolmogorov. Su gran contribución fue comprender que la teoría de la medida nos brinda una forma de establecer rigurosamente, definir teóricamente eventos y mostrar que el cálculo de "probabilidades" a través de su medida nos brinda un sistema matemático que reproduce las intuiciones de Pascal, Laplace, etc. sobre la probabilidad.

Puede mirar a Kolmogorov como físico aquí: está haciendo postulados de que los eventos no serán representados por cosas como los conjuntos de Vitali, y que las intuiciones de Pascal, de acuerdo con la ley del medio excluido, son razonables.

Pero llegan los físicos experimentales y muestran, experimentalmente, que este marco no modela todas las situaciones en el mundo de la física experimental. En particular, se puede violar la Desigualdad de Bell , que es una Desigualdad de Fréchet . Hay proposiciones que no se pueden unir clásicamente con el operador "y":$X$tiene impulso$p$Y$X$tiene posición$x$no tiene significado en la Naturaleza.$\sigma$- y las álgebras booleanas simplemente no pueden describir los sistemas del mundo real, y esto es un hecho experimental . Consulte la respuesta de Valter Moretti a la pregunta de Physics SE "La lógica clásica en relación con las matemáticas QM" .

Los observables cuánticos tienen sentido porque predicen resultados medidos experimentalmente, mientras que la probabilidad clásica no lo hace. Este último se falsifica experimentalmente.

Un sistema cuántico puede describirse mediante un conjunto de observables mecánicos cuánticos en evolución. Esto no es lo mismo que describir un sistema en términos de una cantidad estocástica descrita por un solo número elegido al azar. Un sistema cuántico realmente tiene múltiples valores de cualquier observable no nítido, ver

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0104033 .

Esas diferentes versiones del sistema pueden influir en los resultados de los experimentos, como los experimentos de interferencia y los experimentos EPR.

En un experimento de interferencia, las cantidades utilizadas para predecir las probabilidades de los resultados de las mediciones no obedecen las reglas de probabilidad, como se indica en algunas de las respuestas anteriores. Este es el resultado de múltiples versiones del sistema que evolucionan y luego se recombinan para producir un resultado.

En los experimentos EPR, se mide cada sistema y existen múltiples versiones de cada resultado de medición. Como resultado, las correlaciones entre los resultados de las mediciones se pueden establecer cuando se comparan en lugar de cuando se realiza cada medición individual, consulte

https://arxiv.org/abs/quant-ph/9906007

https://arxiv.org/abs/1109.6223 .

Tal vez te pueda interesar otra interpretación de las matrices hermitianas. En un artículo reciente, hemos propuesto verlos como apuestas en un experimento cuántico. Luego, hemos impuesto un comportamiento racional en la forma en que un sujeto acepta/rechaza estas apuestas mediante la introducción de algunas reglas simples.

Estas reglas producen, en el caso clásico, la teoría bayesiana de probabilidad a través de teoremas de dualidad.

En el marco cuántico, dan lugar a la teoría bayesiana generalizada al espacio de matrices hermitianas. Esta teoría es la mecánica cuántica: de hecho, hemos derivado todos sus cuatro postulados de la teoría bayesiana generalizada. También nos lleva a reinterpretar las principales operaciones de la mecánica cuántica como reglas de probabilidad: regla de Bayes (medida), marginación (trazado parcial), independencia (producto tensorial).

Para decirlo en pocas palabras, hemos obtenido que la mecánica cuántica es la teoría bayesiana en los números complejos.

http://arxiv.org/abs/1605.08177