¿Qué estados satisfacen una ley de áreas entrópicas y por qué la satisfacen? Más específicamente, ¿por qué los estados del producto de la matriz lo satisfacen?

Question

¿Qué estados satisfacen una ley de áreas entrópicas y por qué la satisfacen? Más específicamente, ¿por qué los estados del producto de la matriz lo satisfacen?

Física
modelos giratorios
red de tensores
información cuántica
entrelazamiento cuántico
física computacional

ckrk

Actualmente estoy leyendo algunos artículos sobre la pregunta de por qué el método del grupo de renormalización de la matriz de densidad (DMRG) funciona bien para simular sistemas unidimensionales y mal para sistemas de dimensiones superiores. Por lo general, la literatura afirma que ciertos estados creados por DMRG, los estados del producto de matriz, que satisfacen una "ley de área entrópica" son simulables en una dimensión y no en dimensiones superiores.

Según tengo entendido, obedecer una "ley de área entrópica" significa que la entropía de entrelazamiento de un subsistema reducido es proporcional al borde del subsistema y no al volumen del subsistema. No me queda claro por qué es una suposición razonable.

Sé de un gran artículo de revisión sobre el tema ( http://arxiv.org/abs/0808.3773 ). Desafortunadamente, especialmente para los estados del producto de la matriz, se dice que la ley del área entrópica se sigue trivialmente de la definición, pero no puedo seguir eso. Con respecto a los otros ejemplos dados en el artículo, estoy algo abrumado y me cuesta ver qué tienen en común y dónde están las diferencias.

¿Qué estados cuentan con una ley de área entrópica y, lo que es más importante, por qué la exhiben?

Más específicamente, ¿por qué el estado fundamental de un estado de producto de matriz exhibe la propiedad, mientras que otros estados no (leí que los estados de producto de matriz hacen eso, pero no veo por qué)?

PD:

También estoy agradecido por los contraejemplos, que podrían ayudar a ilustrar la diferencia cualitativa entre los estados que cumplen con la ley y los estados que no la cumplen.

Respuestas (1)

¿Qué estados satisfacen una ley de áreas entrópicas y por qué la satisfacen? Más específicamente, ¿por qué los estados del producto de la matriz lo satisfacen?

Norberto Schuch · Answer 1

Estás haciendo bastantes preguntas, así que déjame intentar ir paso a paso.

Primero, una ley de área es una propiedad muy especial entre los estados cuánticos: si elige un estado aleatorio, tendrá una entropía casi máxima (es decir, una escala de volumen en lugar de área). Entonces, esencialmente cualquier estado sería un contraejemplo ;-)

Por otro lado, los estados fundamentales que aparecen en la naturaleza suelen tener un entrelazamiento muy bajo, que escala como el área (posiblemente con alguna corrección logarítmica). Intuitivamente, uno puede entender esto por el hecho de que el sistema trata de minimizar la energía de los términos hamiltonianos locales creando un entrelazamiento local. (Aunque esto no es riguroso y no es del todo correcto).

Lo que es más importante, Hastings ha probado rigurosamente una ley de área para estados fundamentales de hamiltonianos unidimensionales separados (este resultado se ha mejorado desde , y se ha demostrado que una ley de área también está implícita en las correlaciones exponencialmente decrecientes ). también se cree que es válido para muchos sistemas sin espacios (hasta una corrección), existen ejemplos que no tienen espacios y tienen una entropía que se escala algebraicamente con el tamaño del bloque. Se cree que cosas similares son ciertas en 2D, pero no hay pruebas rigurosas.

Finalmente, ¿por qué Matrix Product States (MPS) satisface la ley del área? Primero, considere el estado bipartito

| ψ ⟩ = \sum_{i j} (\sum_{α = 1}^{D} a_{α}^{i} b_{α}^{j}) | i ⟩ | j ⟩ .

$\vert\psi\rangle = \sum_{ij} (\sum_{\alpha=1}^{D} a^i_\alpha b^j_\alpha) \vert i\rangle\vert j\rangle\ .$ Este estado tiene rango Schmidt

D

$D$ , es decir, su entrelazamiento está acotado por

\log D

$\log\,D$ : Satisface una ley de área. Ahora, un MPS con un corte en la posición

s

$s$ es exactamente de esta forma, con

i = (i_{1}, \dots, i_{s})

$i=(i_1,\dots,i_s)$ ,

j = (i_{s + 1}, \dots, i_{N})

$j=(i_{s+1},\dots,i_N)$ , y

a^{(i_{1} \dots i_{s})} = A^{[1], i_{1}} \dots A^{[s], i_{s}}

$a^{(i_1\dots i_s)} = A^{[1],i_1}\cdots A^{[s],i_s}$ y

b^{(i_{s + 1} \dots i_{norte})} = A^{[s + 1], i_{s + 1}} \dots A^{[norte], i_{norte}}

$b^{(i_{s+1}\dots i_N)} = A^{[s+1],i_{s+1}}\cdots A^{[N],i_N}$ (aquí,

A^{[1], i_{1}}

$A^{[1],i_1}$ es un

1 \times D

$1\times D$ matriz,

A^{[N], i_{N}}

$A^{[N],i_N}$ es un

D \times 1

$D\times 1$ matriz, y los otros son

D \times D

$D\times D$ matrices).

Finalmente, permítanme señalar que un punto importante por el que la ley de área es interesante es que los estados que satisfacen una ley de área pueden aproximarse de manera eficiente mediante MPS (y, por lo tanto, simularse usando DMRG).

gracias por la respuesta detallada, esto fue muy útil para mí!

¿Qué estados satisfacen una ley de áreas entrópicas y por qué la satisfacen? Más específicamente, ¿por qué los estados del producto de la matriz lo satisfacen?

ckrk

Respuestas (1)

Norberto Schuch

ckrk

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