Conexión entre la dimensión de enlace de un estado de producto de matriz y el entrelazamiento

La dimensión de enlace es la dimensión del estado de producto de matriz truncado (MPS). Supongamos que estoy simulando un sistema de muchos cuerpos con un alto entrelazamiento a través del grupo de renormalización de la matriz de densidad (DMRG) . En una conferencia a la que asistí hace unos días, alguien me dijo que la dimensión de enlace aumenta con la cantidad de entrelazamiento en el sistema. Por lo tanto, simular un sistema altamente entrelazado con DMRG requiere una gran cantidad de tiempo computacional. Sin embargo, ¿cómo se relaciona exactamente la dimensión de enlace con el entrelazamiento de un sistema?

Una dimensión de enlace más grande significa más enredo. Piense en un MPS 1D como si comenzara con muchos pares entrelazados al máximo entre "partículas virtuales" en los sitios, cuyo número es aproximadamente la dimensión del enlace. Luego, proyecte las partículas virtuales de vuelta a los estados físicos. Aparentemente, cuantas más partículas virtuales tenga, más enredados pueden estar los estados virtuales.

Respuestas (1)

El entrelazamiento de cualquier región en un estado de producto de matriz de dimensión de enlace D está delimitado por S ≤ 2 registro ⁡ D . Así, para simular un sistema con mucho entrelazamiento, la dimensión del enlace (y por tanto la memoria y el tiempo de cálculo) crecerá exponencialmente con la entropía.

Por el contrario, sabemos que si para un estado | ψ ⟩ el α -Entropía de Renyi (por α < 1 ) de cualquier bloque está acotado por una constante, entonces una aproximación eficiente de | ψ ⟩ por un MPS existe (es decir, donde D escala polinomialmente en el tamaño del sistema y la precisión inversa). Esto se prueba en https://arxiv.org/abs/cond-mat/0505140 . La conexión general entre el escalamiento de entropía y la aproximabilidad por MPS se discute en https://arxiv.org/abs/0705.0292 , donde en ejemplos particulares de estados con una ley de área para α ≥ 1 se dan que no pueden ser aproximados eficientemente por MPS. (Tenga en cuenta que para α = 1 , no hay (afaik) ningún ejemplo de traducción invariable).

¿Por qué hay un factor 2 delante de en ⁡ D ? Dada la dimensión del enlace D , hay como máximo D Valores propios de Schmidt de D − 1 , lo que conduce a una entropía S = − D ( D − 1 en ⁡ D − 1 ) = en ⁡ D . Me pregunto por qué su fórmula tiene un factor adicional 2.
@EverettYou Si corta una región en medio de un MPS, obtiene un factor de 2 ya que tienes bonos en ambos extremos de la región. Si corta un MPS infinito/OBC en dos partes, el límite es de hecho D .
Gracias por esta respuesta. ¿Podría agregar una referencia para la declaración inversa? ¿Y hay contraejemplos para α = 1 ?
@Abhinav He agregado la referencia, así como una referencia al documento que contiene los contraejemplos correspondientes.
Conexión entre la dimensión de enlace de un estado de producto de matriz y el entrelazamiento
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v