¿Está bien definida la descomposición de Schmidt para la representación periódica de productos de matriz (MPS)?

Podemos realizar la descomposición de Schmidt para MPS de límite abierto con dimensión de enlace límite metro 0 = 1 , | ψ ⟩ = ∑ w a yo | a yo ⟩ L | a yo ⟩ R . porque podemos hacer | a yo ⟩ L , R ortorgonal.

Sin embargo, creo que es difícil hacer una descomposición de Schmidt para cadenas periódicas con dimensión límite metro 0 > 1 , porque necesitamos cortar la cadena dos veces para que sea bipartita, y ¿cómo podemos mantener la ortogonalidad de los estados durante este tipo de operaciones?

En otras palabras, ¿podemos hacer una descomposición de Schmidt con estados masivos ortogonales como entorno?

Ejemplo , queremos hacer un conjunto mixto formado por | a yo ⟩ L y | a r ⟩ R fuera de MPS Ψ a yo , a r | a yo ⟩ L | a yo a r ⟩ C | a r ⟩ R al trazar la parte central, debemos hacer que la parte central sea ortogonal, lo que no es tan fácil como hacer que los conjuntos derecho o izquierdo sean ortogonales, esto último se puede lograr haciendo que MPS sea canónico a la izquierda o a la derecha.

Por supuesto que puedes hacer una descomposición de Schmidt. El problema es truncar los coeficientes de Schmidt cortando enlaces individuales, no la propia descomposición de Schmidt.
@NorbertSchuch Tengo la intención de obtener el conjunto mixto después de rastrear un segmento, no para realizar el truncamiento en DMRG, ¿tiene alguna sugerencia? PD: De hecho, tengo una idea, pero necesito algo de tiempo para comprobar si es correcta :)
Tienes que ser más específico. El rastreo siempre es posible. Debe explicar por qué debería ser diferente/más difícil hacer esto con un PBC MPS. (¿Quizás tienes en mente una representación específica del estado mixto?)
@NorbertSchuch, agregué un ejemplo a este problema en el texto principal y descubrí una posible solución (vea las respuestas). Me tomó un tiempo confirmar que funciona correctamente en mi programa ... ¿Tiene más sugerencias sobre ¿Cómo la mayoría de la gente hace frente a este problema?

Respuestas (1)

Una posible solución:

Descubrí una posible solución a este problema.

1. Obtenga el producto interno del bloque central METRO a yo a r , a yo ′ a r ′ = Ψ a yo , a r σ C Ψ a yo ′ , a r ′ σ C , aquí σ C son los índices físicos para el bloque central.

2. Realice la descomposición cholesky (si no puede realizarla de manera que revele el rango, use la descomposición de valores propios en su lugar), obtenga algo como C a yo a r , k C k , a yo ′ a r ′ † = METRO a yo a r , a yo ′ a r ′ . Entonces C − 1 matriz es lo que diagonaliza el bloque central, su rango r ( C ) ≤ metro i norte ( d norte tu metro b mi r o F s i t mi , a yo a r ) . C − 1 (¿no está bien definido en general?) es lo que normaliza el bloque central notando la condición de normalización C − 1 METRO C − 1 † = 1 .

3. Insertar C C − 1 en el MPS original, C − 1 normaliza el ambiente, así que dejamos caer C − 1 METRO (procedimiento de rastreo) y reemplace el bloque central Ψ → C † y obtenga la representación MPS de la mezcla cuántica.

El inconveniente es que no siempre podemos obtener el inverso de C debido a la deficiencia de rango, pero el resultado parece no depender de esta propiedad, creo que hay una manera de eludir este problema en la deducción. Aún así, pido una forma inteligente de hacer esto, la forma anterior es costosa desde el punto de vista computacional: d metro 5 para m los estados guardados.

Consulte este documento para obtener más detalles: iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/aa6a4b
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