Covarianza en teorías de calibre: ¿por qué el lagrangiano debería ser invariante de calibre?

No partimos del supuesto de que el lagrangiano "debería" ser invariante bajo transformaciones de norma. Esta suposición a menudo se hace porque las simetrías globales se consideran más naturales que las simetrías locales y, por lo tanto, los escritores intentan motivar la teoría de calibre "haciendo que la simetría global sea local", pero esto en realidad no tiene sentido. ¿Por qué querríamos una simetría local solo porque hay una global? ¿Tenemos algún fetiche por las simetrías como para querer hacer posible la teoría más simétrica? Uno puede derivar la teoría de calibre de esta manera, pero como motivación física, esto es una pista falsa.

El punto real no es que "queremos" simetría de calibre, sino que se nos impone cuando queremos describir bosones vectoriales sin masa en la teoría cuántica de campos. Como también aludo en esta respuesta mía , cada bosón vectorial sin masa se describe necesariamente mediante un campo de calibre. Una teoría de calibre lagrangiana es equivalente a una teoría restringida hamiltoniana: de cualquier manera, el número de grados de libertad independientes que son físicamente significativos es menor que el recuento ingenuo, ya que identificamos estados físicos relacionados por transformaciones de calibre.

La verdadera motivación física para las teorías de calibre no es "queremos simetrías locales porque las simetrías son claras". Es "queremos describir un mundo con fotones y eso solo se puede hacer covariantemente con una teoría de calibre".

También se puede dar una motivación no cuántica de la teoría de calibre: si escribe el Lagrangiano del electromagnetismo libre, motivado porque sus ecuaciones de movimiento son las ecuaciones de Maxwell , no porque nos guste la simetría de calibre, entonces encontrará que viene naturalmente con un$\mathrm{U}(1)$simetría de calibre, que corresponde al hecho bien conocido de que agregar un gradiente al potencial del vector 4 es físicamente irrelevante. Ahora, si desea acoplar otros campos a este electromagnetismo libre, debe hacer que los términos adicionales también sean invariantes, de lo contrario, la teoría ya no es "electromagnetismo acoplado a otra cosa" en ningún sentido significativo, ya que agregar gradientes repentinamente puede cambiar el física. Una vez más, la simetría de calibre es algo que uno descubre después de motivar físicamente al Lagrangiano de otra cosa, no algún tipo de suposición a priori que incluimos.

Una de las ideas subyacentes en la invariancia de la medida es que la física existe independientemente de la parametrización de coordenadas (y, por lo tanto, de la medida) que aplicamos al sistema.

Para cambios en las coordenadas que conservan la unidad, el lagrangiano (como una medida de la "energía" en el sistema) debería tener un valor independiente de las coordenadas que elijamos.

La motivación para las derivadas covariantes, etc., es entonces dar cuenta de los desacuerdos entre los sistemas de coordenadas (y la variedad física subyacente) de lo que hace una "línea recta" o un "ángulo recto".

El lagrangiano libre es invariante bajo simetrías de calibre global. Para esto no necesitamos introducir derivadas covariantes o campos de calibre.

Luego imponemos artificialmente la condición de que incluso los cambios de calibre locales son simetrías. Pero esto es sólo un truco matemático. Una redundancia en nuestra descripción. Por lo tanto, el Lagrangiano y las ecuaciones de movimiento no deberían depender de nuestra elección de calibre, porque un cambio de calibre local no es "físicamente real". Por lo tanto, usamos la derivada covariante para asegurarnos de que el Lagrangiano permanezca independiente del calibre.

Por ejemplo en el caso de U(1). Supongamos que hacemos un cambio de fase local del campo de fermiones. Pero este cambio no es real. Entonces debemos tener un término correspondiente que también cambie de tal manera que cancele el efecto de este cambio de fase local artificial. Esto lo hace el campo de calibre.$A_{\mu}(x)$.

Si desea una buena comprensión intuitiva de la teoría de calibre, le sugiero encarecidamente el libro " Un manual básico para la teoría de calibre " de K. Moriyasu.